Интегралы с бесконечными пределами интегрирования

    Пусть функция  определена и непрерывна при всех значениях  из интервала .

Рассмотрим интеграл , где -любое число, лежащее правее , т.е. . Будем  все время увеличивать и наблюдать, что происходит с интегралом.

Определение: Если существует конечный предел , то этот предел называется несобственным интегралом от функции  на интервале .

    Обозначение: .

    Если этот предел существуетиконечен, то говорят, что несобственный интеграл сходится. Если предел не существует или равен бесконечности, то говорят, что несобственный интеграл расходится.

    Аналогично вводится несобственный интеграл

для функции , непрерывной на интервале .

Если функции непрерывна на всей числовой оси, то можно рассмотреть интеграл

,

где - любое конечное число. Интеграл, стоящий слева, сходится тогда и только тогда, когда сходятся оба интеграла, стоящие справа.

Пример 1.

- не существует.

Следовательно, несобственный интеграл расходится.

Пример 2.

= = = =

= = . 

Интеграл сходится.

Замечание. Для несобственных интегралов с бесконечными пределами интегрирования отсутствует понятие интегральной суммы, т.к. нельзя разбить бесконечный отрезок интегрирования на конечное число элементарных отрезков, имеющих конечную длину . В этом случае несобственный интеграл является не пределом интегральных сумм, а пределом определенного интеграла с переменным пределом интегрирования.

Оценка несобственных интегралов с бесконечными пределами интегрирования

Во многих практических случаях достаточно установить сходится или расходится данный интеграл и как-либо оценить его.

Теорема: Если для всех  выполняется условие  и интеграл  сходится, то  тоже сходится, причем .

Теорема: Если для всех  выполняется условие  и интеграл  расходится, то  тоже расходится.

Теорема: Если  сходится, то сходится и интеграл , который в этом случае называется абсолютно сходящимся.