Вычисление длины дуги кривой

Рис. 9

Определение. Длиной  дуги  называется предел, к которому стремится периметр вписанной в эту дугу ломаной, когда число ее звеньев неограниченно растет, а наибольшая из длин звеньев стремится к нулю.

Длина ломаной линии, которая соответствует дуге, может быть найдена как  (см. рис.9). Тогда длина дуги равна .

Из геометрических соображений имеем:

.

Переходя к пределу, получим .

Окончательно можно записать

.

Если уравнение кривой задано параметрически, то с учетом правил вычисления производной параметрически заданной функции получаем

,

где .

    Если задана пространственная кривая, где , то

    Если кривая задана в полярных координатах, то

, r = f(j).

Пример. Найти длину окружности, заданной уравнением  (см. рис. 10).

Рис. 10

Запишем данное уравнение в полярной системе координат, положив .

Тогда получим: . Т.е. функция ,  и для длины окружности можно записать: