Свойства определенного интеграла

1) Постоянный множитель может быть вынесен за знак интеграла:

где A =const.

2) Интеграл от алгебраической суммы функций равен алгебраической

сумме интегралов от слагаемых:

Замечание. Свойства 1 и 2 называются свойством линейности определенного интеграла.

3) При перестановке пределов интегрирования определенный интеграл

меняет знак:

4) Для любых трех чисел  справедливо равенство

,

если только все три интеграла существуют. Это свойство называется

свойством аддитивности.

5) Если на отрезке  выполняется неравенство , то

6) Если функции  и  интегрируемы на отрезке  и для любого

, где , справедливо неравенство , то

.

Доказательство свойств 1) – 6) проводится с использованием формулы (2).

7) Оценка определенного интеграла. Теорема о среднем.

Теорема:    Если m и M – соответственно наименьшее и наибольшее значения функции  на отрезке [ ], то:

, где .

Теорема о среднем:    Если функция  непрерывна на отрезке , то на этом отрезке существует точка  такая, что

                                                    (3)

Доказательство: В соответствии с предыдущей теоремой

.

Обозначим

,                                                           (4)

 где - некоторое число, удовлетворяющее неравенствам, где . Так как функция  непрерывна на отрезке , то она принимает на этом отрезке все значения от m до М. Другими словами, на отрезке  найдется такая точка , для которой . Тогда из равенства (4) получаем

.

Теорема доказана.

Замечание. Значение функции в точке , определяемое из равенства (3)

,

называется средним значением функции на отрезке .