Реализация и анализ процедуры выбора

Механизм выбора

Выбор на множестве вариантов осуществляется лицом, принимающим решение, на основе сформировавшейся у него системы отношений на этом множестве вариантов. Процесс выбора, как и любой другой, имеет внешнее, «вход – выходное», и внутреннее описание. Первое обычно называют функцией выбора, а второе – механизмом выбора.

Механизм выбора является его внутренним описанием, устанавливающим, как из заданного множества альтернатив (вариантов, объектов) A выделяется его часть B. Представление выбора в виде двух описаний – механизма выбора и функции выбора – соответствует традиционной в теории управления модели преобразователя. На вход этого преобразователя, называемого «Выбор», поступает множество A, а на выходе появляются подмножества B Í A.

Механизмы выбора обычно задаются двумя характеристиками. Одна представляет собойструктуру sна множестве A, а вторая определяет правило p, указывающее, как при предъявлении на вход процедуры выбора альтернативы a Î A найти B Í A, используя структуру s. Структура характеризует отношения на множестве альтернатив, которые могут быть заданы различным образом: непосредственно отношением пар альтернатив или отображением j множества A в некоторые порядковые или числовые шкалы.

Суть процесса выбора состоит в выделении из множества альтернатив A некоторой его части C (A), осуществляемого ЛПР. Отображение, сопоставляющее каждому A его подмножество C (A)Í A называется функцией выбора C (от английского choice – выбор). Любой механизм выбора реализует, или порождает некоторую функцию выбора, обладающую набором свойств, рассматриваемых в следующем параграфе. Забегая вперед, укажем, что одним из свойств функции выбора является рациональность.

Однако далеко не всегда реальное ЛПР ведет себя «рационально», и, следовательно, не всегда порождаемая конкретным механизмом выбора функция выбора обладает этим свойством. Рассмотрим некоторые из часто используемых механизмов выбора на примерах.

Пусть структура s задана отображением j множества A в некоторую шкалу, имеющую смысл «лучше – хуже», а правило p - экстремизация (для определенности – максимизация) j(a) на множестве A, т.е. выделение из A подмножества Y, определяемого как C (A) = Y = { y Î A |j (y) ³ j(a)для всех a Î A }.

Определенный таким образом механизм выбора позволяет осуществить выбор всех вариантов с экстремальным значением скалярной оценки вариантов j(a) на A. Такой механизм выбора называется скалярно – оптимизационным. Пример использования этого механизма – выбор объекта для инвестиций на основании его названия (бренда), рейтинга. Ясно, что такой механизм выбора не всегда удовлетворит организаторов выбора, ибо рейтинг или престижность бренда отражают ретроспективу, а не состояние в данный момент.

В подобных ситуациях на практике часто используется механизм выбора, называемый парнодоминантным. В этом механизме выбора структура s задается на множестве вариантов A бинарным отношением D, являющимся строгим или нестрогим предпочтением. Правило выбора p записывается как Y = { y Î A ê yDa для всех a Î A }. Смысл этого правила ясен – вариант y должен быть выбран как самый лучший, если он доминирует все остальные из рассматриваемых. Естественно возникает вопрос: а как осуществить выбор, если вариант, при попарном сравнении доминирующий все остальные отсутствует, т.е. нет, например, ни одного участника шахматного турнира, который не проиграл хотя бы одному другому? Очевидно, данный механизм выбора не гарантирует непустоту выбора.

Скалярно-оптимизационный и парнодоминантный механизмы выбора используют на множестве вариантов структуру s, задающую для каждого варианта или для отношения пары вариантов одно отображение на ось, т.е. скалярную оценку. Однако часто для выбора необходимо учитывать совокупность свойств вариантов, свести которую к скалярной оценке затруднительно. В этом случае структура s задается в виде n >1 отображений j_i(a) множества A, т.е. в виде вектор – функции j(a) = (j₁(a), …, j_n(a)). Правило p в данном случае имеет смысл векторной оптимизации функции j(a), понимаемой как выделение из A множества всех оптимальных по Парето вариантов по векторному критерию j. Реализуемый в таких условиях выбор называют векторно-оптимизационным, результат которого определяется рассмотренными нами раннее свойствами отношения Парето.

Заметим, что логика всех трех механизмов выбора основана на попарном сравнении вариантов, т.е. на понятии отношения.

Рассмотренные механизмы выбора являются классическими, на основе которых порождены разнообразные «неклассические» механизмы выбора, позволяющие сузить множество выбора (например, выделить лишь некоторые из паретовских вариантов) или избежать пустоты выбора в случае парно–доминантного механизма.

Неклассические механизмы выбора используют некоторую дополнительную информацию, позволяющую или избежать пустоты выбора, или сузить множество выбранных вариантов. Рассмотрим некоторые, наиболее распространенные из таких механизмов.

Турнирный выбор представляет собой видоизменение парно – доминантного выбора путем использования вместо одного отношения D слабого порядка двух отношений– строгого порядка D ₁и эквивалентности E. Если на паре вариантов a, b определено отношение aD ₁ b, то вариант a получает вес, например, 2, а вариант b вес 0. Если aEb, то оба варианта получают вес 1. Отношения определяются на всех парах вариантов a, b Î A. Правило выбора p следующее: для все вариантов определяется сумма весов, и лучшим признается вариант с максимальным суммарным весом (максимальной суммой очков, чтобы оправдать название механизма выбора). Именно такой механизм используется для определения победителей разнообразных спортивных турниров, что и определяет его название.

Большая группа методов используется в случае, когда выбор осуществляется по вектор-функции j(a) = (j₁(a), …, j_n(a)). Механизмы совокупно – экстремального и мажоритарного выбора исходят из предположения о равноценности для ЛПР всех компонент j _i (a). В первом механизме в число лучших вариантов включаются все те, которые имеют лучшую оценку хотя бы по одному показателю, т. е. лучшее значение хотя бы одной компоненты j _i (a). При мажоритарном выборе лучшими считается вариант, имеющий максимальное число лучших оценок. Ясно, что эти механизмы, как, впрочем, и все другие, не гарантируют выбор единственного варианта.

Лексикографический выбор исходит из предположения о неравноценности для ЛПР составляющих вектор – функции j(a) = (j₁(a), …, j_n(a)). Рассматриваемый механизм выбора предусматривает выбор варианта по отношению лексикографии L. Если вариантов, лучших по самому важному показателю, несколько, а требуется выбрать только один, процедура продолжается путем выделения вариантов, превосходящих остальные по второму по важности показателю, и т.д. Существенным свойством этого метода является учет важности показателей только посредством их упорядочения. Существует ряд методов, которые различными способами уточняют оценку важности показателей.

Вметоде взаимных уступок вводится множество оценок Dj _i (a), имеющих смысл уступки, которую ЛПР готов сделать по этому показателю для того, чтобы ввести в рассмотрение следующий по важности показатель. Механизм выбора реализует отношение лексикографии, но на каждом шаге сравнение вариантов осуществляется с учетом уступки Dj _i. Естественно, оценка величины уступок представляет собой отдельную и достаточно сложную задачу.

Наконец, выбор на основе аддитивной функции полезности, или, как его часто называют, выбор по взвешенным показателям. Составляющим j _i (a) вектор – функции j(a) = (j₁(a), …, j_n(a)) приписываются веса l_i³0, характеризующие их важность (полезность) с точки зрения ЛПР. Все компоненты j _i (a) преобразуются в некоторые безразмерные и измеряемые в одной шкале величины u [j _i (a)], имеющие смысл «чем больше значение, тем лучше». Функция выбора образуется вариантами с максимальным значением суммы å l_i u [j _i (a)]. Эта сумма часто трактуется как функция полезности, отсюда и основное название метода. Очевидно, именно к результату работы такого механизма относится термин «взвешенное решение». Заметим также, что такой подход применим только в тех случаях, когда недостатки по одним свойствам могут быть компенсированы превосходством по некоторым другим, например, низкая надежность компенсируется невысокой ценой. Понятно, что такая взаимная компенсация возможна лишь в определенных пределах.

Введение в том или ином виде порядка на множестве составляющих j _i (a) вектор-функции j(a) = (j₁(a), …, j_n(a)) отражает мнение ЛПР об этом порядке именно в данном акте принятия решения, т.е. в значительной мере определяется контекстом. Это не является признаком рациональности, т.к. контекст не является постоянным при принятии решения. Однако понимаемая таким образом нерациональность неклассических механизмов выбора не является препятствием для их использования при принятии управленческих решений, тем более, что других механизмов попросту нет. В связи с этим большое значение имеет осведомленность ЛПР о тех опасностях, подвохах, «подводных камнях», которые могут встретиться при использовании этих механизмов и правил.

Вместе с тем, использование неклассических механизмов выбора возможно при наличии соответствующего информационного обеспечения, в частности, информации об упорядочении составляющих j_i(a) вектор – функции j(a).

Функции выбора

Система отношений ЛПР не является постоянной даже в одинаковых ситуациях, поэтому и результат выбора может быть разным. По результату выбора не всегда можно судить о его причинах, т.е. определить логику выбора.

Как отмечено в 4.1., суть процесса выбора состоит в выделении из множества альтернатив A некоторой его части C (A), осуществляемого ЛПР. Отображение, сопоставляющее каждому A его подмножество C (A)Í A называется функцией выбора C (от английского choice – выбор). Функция выбора формализует взаимную зависимость выборов C (A) при взаимосвязанных ситуациях выбора.

Функция выбора является внешним (вход – выход) описанием процесса выбора. Она является порождением бинарных отношений, существующих, по мнению ЛПР, на множестве объектов выбора. Представляется, что выбор, осуществляемый ЛПР, должен отвечать неким условиям рациональности, логичности, разумности, быть рациональным, объяснимым. Функции выбора, характеризующие рациональное поведение ЛПР, обладают некоторым набором свойств, которые мы рассмотрим.

Условие наследования (Н) состоит в том, что альтернативы, выбранные из некоторого исходного множества A, будут выбраны и из подмножества A^’ Í A, в которое вошли и выбранные альтернативы, т.е. если A^’ Í A, то C(A’) Ê C (A)Ç A’. Например, фирма, попавшая в число лучших на национальном конкурсе, должна быть и среди лучших фирм своего региона, участвовавших в этом конкурсе.

Условие строгого наследования, или константности остаточного выбора (К), как следует из названия, является несколько более строгим, а именно: из A^’ Í A и C (A)Ç A’ ¹Æ следует C (A’)= C (A)Ç A’.

Условие независимости от отвергнутых альтернатив (О) подразумевает, что выбор из подмножества A’ Í A, содержащего все альтернативы, выбранные из A, будет совпадать с выбором из исходного множества, т.е. если C (A)Í A’ Í A, то C (A’) = C (A). В соответствии с этим условием, фирма, победившая в некотором тендере на выполнение работ, должна одержать победу и при более узком составе участников.

Условие согласия (С) требует, чтобы альтернативы, выбранные из каждого подмножества A_i, были бы выбраны и из объединения этих подмножеств, т.е. Ç C (A_i) Í C (È A_i). Это означает, например, что результаты выборов, проведенных в подразделениях фирмы, должны совпадать с результатами выбора на общем собрании. Очевидно, условие согласия является достаточно жестким и спорным в некоторых практических случаях.

Условие независимости выбора от пути,или условие Плотта (КС)выполняется в том случае, если выбор из объединения множеств совпадает с выбором из объединения выборов, сделанных из каждого множества в отдельности, т.е. (A ₁È A ₂) = C (C (A ₁) È C (A ₂)). Согласно этому условию, можно сначала провести выборы поставщиков в регионах, а затем из победителей выбрать лучших. Очевидно, это свойство функции выбора учитывается при организации спортивных соревнований, когда сначала проводят соревнования в группах, а затем из победителей в группах определяют победителя соревнования. Функции выбора, удовлетворяющие этому условию, называются квазисумматорными.

Условие же сумматорности (СМ) предполагает, что выбор из объединения множеств равен объединению выборов из каждого множества в отдельности, т.е. C (A ₁ È A ₂) = C (A ₁) È C (A ₂). Например, в список поставщиков фирмы включаются все поставщики, отобранные отдельными ее подразделениями (конечно, имеющими право выбора).

Условие мультипликаторности (МП) предполагает, что выбор из пересечения множеств совпадает с пересечением выборов, т.е. C (A ₁ Ç A ₂) = C (A ₁) Ç C (A ₂).

Наконец, условие монотонности (М) предполагает, что выбор из более широкого множества включает в себя выбор из его части{ A ₁Í A ₂Þ C (A ₁) Í C (A ₂)}, т.е. является более широким.

Следующие свойства функций выбора являются естественным обобщением рассмотренных в предыдущем разделе свойств отношений. Функцию выбора называют: рефлексивной, если C (x) = Æ; антирефлексивной, если C(x) = x; полной, если C (x) ¹ Æ для всех X ¹ Æ; транзитивной, если [ C (X ₁ È X ₂) = C (X ₁) ¹ Æ, C (X ₂ È X ₃) = C (X ₂) ¹ Æ] Þ C (X ₁ È X ₃) = C (X ₁); ацикличной, если [ C (X_k È X_k₊ ₁) = C (X_k) ¹ Æ, (k = 1, n- 1)] Þ X ₁ ¹ X_n.

Свойства рефлексивности и антирефлексивности функций выбора близки к рассмотренным раннее аналогичным свойствам отношений. Транзитивность и ацикличность функций выбора можно иллюстрировать такими примерами. На конкурс представлены проекты трех фирм – А, Б и В. При сравнении проектов фирм А и Б лучшим признан проект фирмы А, при сравнении проектов фирм Б и В – проект фирмы Б. Тогда из проектов фирм А и В лучшим следует считать проект фирмы А, который является и лучшим среди всех проектов. Такая функция выбора транзитивна. Из того факта, что при сравнении проектов фирм Б и В лучшим признан проект фирмы Б следует и ацикличность данной функции выбора.

Имеется определенная связь между механизмами и функциями выбора. Оказывается, для того, чтобы функция выбора порождалась механизмами выбора скалярно–оптимизационным, парно–доминантным, векторно–оптимизационным, необходимо и достаточно, чтобы она удовлетворяла соответственно условию К; НÇС; НÇСÇО. Таким образом, все классические механизмы выбора порождают функции выбора, обладающие свойствами Н и С.

Неклассические механизмы выбора характерны тем, что порождаемые ими функции выбора не удовлетворяют рассмотренным выше свойствам отношений. Например, легко убедиться, что порождаемая турнирным механизмом функция выбора не только не удовлетворяет условию К, но даже ни одному из условий Н, С и О.

Функция выбора может быть наглядно представлена в виде хорошо известной турнирной таблицы. В табл. 4.1 в качестве примера представлены результаты выборов некоторого ЛПР на множестве, состоящем из 15 вариантов. В ячейках ij таблицы стоят буквы В и П, соответствующие выигрышу или проигрышу варианта i при сравнении его с вариантом j, а буква Н свидетельствует о равносильности вариантов (ничья). За победу присуждается 2 балла, за ничью – 1, за поражение – 0. В последнем столбце проставлена сумма баллов, полученных вариантом, которая и определяет место варианта в списке.

Рассмотрим на примере табл. 4.1, обладает ли описываемая ей функция выбора основными свойствами рациональности. Для этого исследуем, как влияют изменения в составе множества альтернатив на результаты выбора. Легко убедиться, что удаление из таблицы альтернатив, соответствующих строчкам (и столбцам) 3 – 10, приводит к изменению состава лучших альтернатив, занимающих первые два места. Это означает, что для данной функции выбора не выполняется условие наследования. Удаление из таблицы шести последних альтернатив также приводит к изменению состава лучших, что свидетельствует о невыполнении условия независимости от отвергнутых альтернатив. Аналогично можно рассмотреть выполнимость и других свойств функции выбора и сделать вывод о рациональности ЛПР, работа которого описана данной таблицей.

Таблица 4.1

Вариант