Отношения, их представление и свойства

Выяснить, что такое отношение, наверное, проще всего на примерах. Рассмотрим не­сколько суждений, выражающих взаимосвязи между объектами: «Фирма А и фирма В яв­ляются производителями компьютеров»; «Фирма А основана раньше фирмы В»; «Порт Одесса южнее порта Калининград»; «Доллар США дороже российского рубля»; «В июне и сентябре по 30 дней». Несмотря на различия в указанных предложениях, можно заметить некоторые общие свойства в характере некоторых отношений. Так, отношения, утверждае­мые первым и пятым предложе­ниями, свидетельствуют о том, что некие два объекта при­надлежат общему классу: в первом слу­чае – фирм, выпускающих продукцию одного типа, во втором – месяцев продолжительностью в 30 дней. Во втором, третьем и четвертом отно­шениях общим является то, что они выражают некото­рый порядок на множестве объектов. Во всех предложениях четко выражены названия объектов и отношений. Если использован­ные названия заменить другими, то возможны 3 ситуации: отно­шение останется справедливым, перестанет выполняться или потеряет смысл. Так, если в четвертое предложение вместо доллара США поставить евро, то отношение останется справедливым. Если в третьем предложении вместо Одессы поставить Мурманск, то отношение перестанет выполняться, а если в этом же третьем предложении вместо слов «порт Одесса» напи­сать «доллар США», то выражение потеряет смысл. Следовательно, говорить об отношении можно только в том случае, когда выделено множество объектов, на которых это отношение оп­ределено. При принятии решений учитываются различные свойства объектов, и по этим свойствам отношения между одними и теми же объектами может быть разным. Это видно на примере первых двух из приведенных выше предложений. И еще один важный момент – часть отношений является отражением объективных свойств объектов (например, все при­веденные выше), а часть может отражать субъективное мнение ЛПР. Например, утверждение «автомобили с автоматической коробкой передач удобнее автомобилей с руч­ной коробкой передач» отражает субъективное мнение автора этого высказывания, его лич­ное отношение к автомобилям с раз­ными типами коробок передач. Естественно, это субъек­тивное отношение будет им учтено при принятии решения о покупке автомобиля наряду с объективными отношениями.

Отношение может быть определено для любого количества объектов. Например, отноше­ние «вкладчики Сбербанка России» выполняется для некоторого доста­точно большого числа людей, обладающих всевозможными вкладами в соответствующем банке. Мы будем рас­сматривать только бинарные отношения, т.е. отношения, которые суще­ствуют или не существуют между двумя объектами из одного и того же множества. В даль­нейшем под термином «отноше­ние» мы будем понимать только бинарные отношения.

 Понятие «отношение» в математике служит для выражения на теоретико-множественном языке связей между объектами.

Пусть X – заданное множество объектов. Отношением R на множестве X называ­ется произвольноеподмножество R множества X´X, т.е. R Í X´X. Следовательно, задание R определяет, ка­кие пары из множества X´X находятся в отношении R. Если пара < x, y > входит в R, т.е. < x, y >Î R, то пишут xRy, что читается: «x находится в отношении R с y». Для задания отно­шения < R, X > на множестве X надо указать все пары < x, y >Î X´X, которые содержатся в R, т.е. пары < x, y >Î X´X, для которых выполняется отношение R. Кроме непосредственного указания всех пар, для которых выполняется отношение R, существуют три основных формальных способа задания отношения: матри­цей, графом или сечением. От того, как заданы отношения, зависят способы описания за­дачи выбора и представления требуемой информации.

Наиболее часто и в самых разных приложениях используется задание отношений матрицей. На­пример, такое представление используется для отображения результатов турниров по спортивным играм, т.е. отношений между участниками турнира. Пусть X состоит из n эле­ментов, пронумерованных целыми числами от 1 до n, R – отношение на X. Построим квадратную матрицу A (R) размером n´n, i -я строка которой соответствует i -му элементу множества X, обозна­чаемому как x_i, а j -й столбец – j -му элементу, т.е. x_j. На пересечении i -й строки и j -го столбца ста­вится 1, если выполнено x_iRx_j, и 0 – в противном случае. Обозначив через A_ij элемент на пересечении i -й строки и j -го столбца, получим следующее общее пра­вило задания матрицы от­ношения R:

                         1, если выполнено x_iRx_j,  

A (R) = A_ij (R) =                                                      (i, j = 1, n).

                         0, если не выполнено x_iRx_j

Другой, геометрической, моделью отношения является граф. Граф может быть исполь­зован для представления отношения на небольшом числе элементов множества X. Пусть элементам множества X соответствуют вершины x ₁, …, x_n. Дуга от x_i к x_j существует, если выполнено x_iRx_j. Графовое представление отношения удобно в том случае, когда требуется математическая обра­ботка информации, т.к. позволяет использовать богатый инструмента­рий теории графов.

Задание отношения сечениями менее распространено, чем предыдущие, и мы не будем на нем останавливаться.

Отношения между объектами не являются чем-то абстрактным, они зависят от ситуации принятия УР, т.е. от конкретного ЛПР, конкретного содержания проблемы и доступного для решения этой проблемы множества альтернатив. Действительно, в одной ситуации объект x_i дороже объекта  x_j, а в другой их можно считать равноценными. Отношение между объектами определяется отношением к ним ЛПР, и именно это часто является решающим.

Для принятия решения очень важным является рациональность отношений. Непосредственно рациональность оценить достаточно трудно. Поэтому для суждения о рациональности системы отношений между объектами и ЛПР рассматриваются некоторые достаточно простые свойства отношений.

Отношение является рефлексивным, если для него справедливо xRx. Примерами являются отношения «быть похожим на», «стоить не больше». Отношение называют антирефлексивным, если оно выполняется лишь для несов­па­дающих объектов. Примерами являются отношения «быть дороже», «быть братом» (по отношению к сестре). Отношение называют симметричным, если оно включает в себя и обратное отно­шение. Иначе говоря, если выполнено xRy, то выполнено и yRx. Примеры – отношения «быть похожим на», «быть компаньоном». Для асимметричного отношения характерна несправедливость по меньшей мере одного из двух выражений – xRy или yRx. Заметим, что от­ношение «быть братом» не является ни симметричным, ни асимметрич­ным. Действительно, если Петр брат Павла, то Павел брат Петра, но если Петр брат Елены, то Елена не является братом Петра. Если отношение R асимметрично, то оно антирефлексивно. Если выражения xRy и yRx справедливы одновременно только тогда, когда x = y, то отно­шение R является антисимметричным.

Для принятия решений очень важными свойствами отношения является транзитивность и ацикличность. Отношение R тран­зитивно, если из xRy, yRz следует xRz. Отношение R называется ацикличным, если из xRz ₁, z ₁ Rz ₂, …, z_{n -1} Ry следует x ¹ y.

Транзитивность и ацикличность отношений играют важную роль в теории выбора, т.к. отражают некоторые естественные, рациональные взаимосвязи между объектами вы­бора. Дейст­вительно, если x в каком-то смысле лучше y, а y в том же смысле лучше z, то ес­тественно считать, что в этом же смысле x лучше, чем z (транзитивность), и, во всяком случае, x не хуже y (ацикличность).

Рассмотренные свойства позволяют определить некоторые отношения, используе­мые в дальнейшем.

Отношение R называется эквивалентностью, если оно рефлексивно, симметрично и тран­зитивно. Обычно такое отношение обозначают символом  ~. Очевидно, что задание эк­вивалентности на некотором множестве объектов равносильно заданию разбиения этого множества на классы эквивалентных друг другу элементов, и, наоборот, некоторое разбиение множества определяет задание соответствующей ему эквивалентности. Но зада­ние разбиения не задает упорядочения. Для определения некоторого упорядочения, т.е. за­дания в каком-то смысле порядка на множестве элементов, вводятся отношения порядка.

Нестрогим упорядочением (отношением нестрогого порядка) называется отноше­ние, об­ладающее свойствами рефлексивности, антисимметричности и транзитивности. Для обозначения нестрогого порядка обычно используют символ p.

Отношение, обладающее свойствами антирефлексивности, асимметричности и тран­зи­тивности, называется строгим упорядочением (отношением строгого порядка). Для обо­значения строгого порядка используют символp.

По нестрогому порядку можно найти соответствующий строгий порядок, и наобо­рот. Действительно, если p - нестрогий порядок, то ему можно сопоставить строгий поря­докp, опреде­ляемый следующим образом: x p y, когда x p y и x ¹ y. Наоборот, если p - стро­гий порядок, ему можно сопоставить отношение p таким образом: x p y, когда x p y или x = y. Поэтому используется термин частичный порядок, понимая под ним нестрогий порядок. Частичный поря­док называют линейным, если для любых x, y выполняется одно из трех ус­ловий: x p y, x = y, x f y.

Строгий порядок является частным случаем отношения доминирования, которое не обла­дает свойством транзитивности и ацикличности. Отношение доминирования характеризует, например, отношения на множестве команд – участниц турнира по спортивным играм.

 В основе рассмотренных отношений лежит представление о полезности объектов, при­чем областью значений функции полезности является множество действительных чи­сел. В тех случаях, когда каждый объект отношения характеризуется m показателями, и оп­ределить полезность каждого варианта в виде одного действительного числа затруднительно, от­ношение между вариантами определяется отношениями между этими m показателями. От­метим два вида возникающих в этом случае отношений, широко используемых при принятии решений.

Пусть x_j, y_j – значение j -го показателя варианта x и y соответственно. Отношением Па­рето (P) называют отношение

[ xPy ]Û {(" j = 1, m) [ x_j f y_j ] и ($ j₀ Î{1,…, m })[ x_j f y_j ]}.

Таким образом, объект x находится с объектом y  в отношении Парето, если для всех пар показателей существует отношение частичного порядка, и хотя бы для одной – строгого. Иначе: объект x находится с объектом   y  в отношении Парето, если он по всем показателям не хуже, но хотя бы по одному строго лучше.

Пусть на множестве показателей задан линейный порядок, такой, что k₁>k₂>…>k_m, где k_i – номер показателя на i -м месте порядка. Отношением лексикографии (L) называют отношение

[ xLy ] Û [ x_k1 f y_k1], или [ x_k1 ~ y_k1 и x_k2 f y_k2 ], или … и [ x¹ y ].

Следовательно, объекты находятся в отношении лексикографии, если для первой пары показателей имеется отношение строгого порядка, или для этой пары существует от­ношение эк­вивалентности и одновременно для второй пары имеется отношение строгого порядка, и т.д.

Отношения Парето и лексикографии относятся к типу бинарных отношений, полу­чивших название координатных, для сравнения по которым достаточно иметь информацию об отношениях знаков разностей одноименных показателей, или координат критериального пространства, с чем связано название отношения.

Важным свойством отношений Парето и лексикографии является рациональность. Оно, в частности, означает, что из отношения xPy или xLy следует превосходство варианта x над вариан­том y хотя бы по одному показателю. Это свойство указанных отношений обу­словливает их ши­рокое использование при принятии рациональных решений.