Проверка гипотезы о нормальном распределении случайной величины с помощью критерия Пирсона при определённом уровне значимости

На основании полученной выборки значений случайной величины необходимо проверить гипотезу о её нормальном распределении. Рассмотрим один из наиболее часто применяемых критериев согласия – критерий Пирсона, который имеет следующий вид:

, (1.32)

где ν_k – число точек в k-ом интервале гистограммы (частота попадания) p_k – теоретические вероятности попадания точек в k-ый интервал, которые могут быть вычислены по формуле (1.33) n – объём выборки случайной величины, К – количество интервалов

(1.33)

где f(х) – плотность вероятности теоретического распределения (1.15)

Величина (1.32) распределена по закону с К-1 степенями свободы. Если теоретические вероятности зависят от q неизвестных параметров, оцениваемых по выборке, то количество степеней свободы равно K-q-1.

Для распределения χ2 составлены специальные таблицы. В них по заданному числу степеней свободы ν и по заданной вероятности α (уровню значимости) можно найти граничное табличное значение критерия .

Если теперь , то гипотеза не противоречит статистическим данным и ее можно считать правдоподобной с уровнем значимости.

Если же , то статистические данные следует считать противоречащим гипотезе о том, что плотность распределения величины Х есть f(x) (1.15). Пусть K – количество интервалов, на которые разбит диапазон изменения каждой переменной. Количество интервалов К вычисляется по правилу Стургерса. Для вычисления используется встроенная функция Mathcad (1.34):

, (1.34)

где n – количество реализаций случайного процесса.

Тогда границы интервалов можно вычислить по формулам:

, ,

где Xmax, Xmin – максимальное и минимальное значение реализации случайного процесса.

Для определения частоты попадания выборочных значений в каждый k-ый интервал по переменной Х воспользуемся формулой (1.35):

, (1.35)

где k=1..K – номер интервала,

u_k – точки, лежащие на границе интервала,

n – количество реализаций случайной величины

Сумма частот всех интервалов должна быть равна количеству реализаций случайной функции n, так как все точки функции распределены на K интервалах.

Теоретическая вероятность попадания случайной величины X в интервал для нормального распределения вычисляется по формуле (1.36):

, (1.36)

Статистика критерия Пирсона .

Табличное значение статистики при уровне значимости =.1 и количестве степеней свободы =7 вычисляется с помощью встроенной функции Mathcad (1.38):

, (1.37)

Очевидно, что . Это значит, что гипотеза о нормальном распределении случайной величины принимается.

Таким образом, в данной главе была построена гистограмма распределения с отображением эмпирической и теоретической плотностей распределения, найдены математическое ожидание , дисперсия .

Построен доверительный интервал для математического ожидания двумя способами:

1. Приближенный доверительный интервал для оценки математического ожидания. Его границы и .

2. Доверительный интервал для оценки математического ожидания на основе распределения Стьюдента. Его границы и .

Теоретическое значение математического ожидания попадает в доверительный интервал.

Построен доверительный интервал для дисперсии двумя способами:

1. Приближенный доверительный интервал для оценки дисперсии. Его границы и .

2. Доверительный интервал для оценки дисперсии на основе распределения со степенью свободы n-1. Его границы и .

Теоретическая дисперсия попадает в доверительный интервал.

Найдена статистика Пирсона . Произведена проверка гипотезы о нормальном распределении случайной величины X, при использовании критерия Пирсона при уровне значимости α: гипотеза принята, так как найденная статистика χ² меньше табличной .