Вычислить неопределенный интеграл

1 2 3 4 5 6 7

Решение:

Теоретический минимум

1. , . 5. .

2. .6. .

3. , .7. .

4. .

Одним из часто используемых методов интегрирования является метод подведения функции под знак дифференциала.

Напомним, что дифференциалом функции называется главная линейная часть приращения функции.

Вычисляется дифференциал по формуле

Формула читается так: дифференциал функции равен произведению производной этой функции на дифференциал ее аргумента.

Идея метода подведения функции под знак дифференциала заключается в следующем: если под знаком дифференциала есть производная некоторой функции , содержащейся в подынтегральном выражении, то эту производную можно внести под знак дифференциала: . Таким образом, мы получим более простой интеграл от новой переменной.

Например:

Интегралы вида

сводятся методом подведения под знак дифференциала к интегралам

Выделив полный квадрат в знаменателе, получим один из табличных интегралов, приведенных ниже (Таблица 1).

Таблица 1 Табличные интегралы

Табличные интегралы

_______________________________________________

Интеграл представляет собой дробь, в числителе которой находится линейная функция, а в знаменателе – квадратичная:

Если степень числителя отличается от степени знаменателя на единицу, то идея решения интеграла - получить в числителе производную знаменателя и применить метод внесения функции под знак дифференциала.

Для интеграла

производная знаменателя подынтегральной функции:

Вместо в числителе нужно получить Для этого числитель можно умножать и делить на одно и тоже число, а также прибавлять к нему и вычитать одно и тоже число.

Рассмотрим каждый интеграл в отдельности:

Решим второй интеграл:

Воспользуемся табличным интегралом . В его знаменателе содержится сумма двух полных квадратов, поэтому в знаменателе нашего подынтегрального выражения нужно выделить полный квадрат: