2020-04-12
252
Рассмотренные ранее дифракционные решётки имели периодические разрывы первого рода в функции, описывающей амплитуду поля на выходе решётки. Рассмотрим теперь пример непрерывного изменения амплитуды поля. Пусть транспарантом является решётка, амплитудный коэффициент пропускания которой 
изменяется по гармоническому закону (рис. 7.36):
,
где d – период решётки.
Рис. 7.36 Амплитудная синусоидальная решётка
Если такая решетка освещается плоской волной с амплитудой 
, то амплитуда волны на выходе транспаранта
. (7.62)
Поле в области дифракции Фраунгофера пропорционально одномерному преобразованию Фурье от функции 
, т.е.
, (7.63)
где
Представим 
по формуле Эйлера
и учтём, что
тогда (7.63) примет вид
График этой функции представлен на рисунке 7.37 а). Из графика видно, что спектр излучения, дифрагированного на синусоидальной решетке имеет лишь три максимума: нулевого и 
первого порядков.
Рис.7.37 Дифракция на синусоидальной амплитудной решетке:
а) бесконечного размера, б) конечного размера
Вычислим теперь, как влияет на вид дифракционной картины ограниченность размера решётки. Это важно понять, поскольку в реальных условиях, как дифракционная решётка, так и падающий на неё световой пучок имеют конечные поперечные размеры. Пусть полная ширина решётки равна 2 а, тогда амплитуда волны на входе транспаранта будет равна
где U 
определяется формулой (7.62),
— прямоугольная функция.
Известно, что преобразования Фурье от произведения двух функций, равно свёртке их образов. Поэтому в области дифракции Фраунгофера будем иметь:
Учитывая фильтрующее свойство 
функции:
получаем:
График этой функции представлен на рисунке 7.37 б).
Отметим, что ограничения размера транспаранта отрезком 2 а ведёт к уширению каждой линии спектра до значения 
без изменения положения линий в спектре.
