Дифракция света на фазовых транспарантах

Фазовым называют транспарант, который определённым образом изменяет фазу падающей на него волны. Рассмотрим два частных случая фазовых транспарантов – линейный и квадратичный.

Дифракция Фраунгофера на линейном фазовом транспаранте.

Физической реализацией линейного фазового транспаранта является оптический клин (рис. 7.38). Пусть на оптический клин с показателем преломления , малым углом при вершине и размером 2a падает по нормали к поверхности плоская волна с амплитудой . Без учёта отражения и преломления излучения в клине поле U на выходе из транспаранта имеет вид:

, (7.64)

где

(7.65)

– оптическая длина хода участка волнового фронта волны с координатой .

Рис. 7.38 Линейный фазовый транспарант

С учётом (7.64) и (7.65) дифракционный интеграл Фраунгофера имеет вид:

(7.66)

где

– фаза, зависящая от параметров клина. Обозначим множитель перед интегралом (7.66), получим

где

Последние равенства означают, что поле, дифрагированное на линейном фазовом транспаранте с точностью до постоянной совпадает с полем при дифракции на щели шириной 2 а, однако смещено на величину

к основанию клина. Этот результат полностью совпадает с известным положением геометрической оптики, согласно которому луч, падающий на клин с малым углом при вершине, отклоняется к основанию на угол .

Дифракция Френеля на квадратичном фазовом транспаранте.

Физической реализацией такого транспаранта является линза. На рисунке 7.39 представлена линза с показателем преломления n и радиусами и . Определим оптическую длину луча, идущего на высоте .

где .

Рис. 7.39 Линза как квадратичный фазовый транспарант

Здесь – толщина линзы на оси; – стрелки прогиба.

При условии , и с точностью до квадратичных членов по .

Следовательно

где ,

— оптическая сила линзы.

Рассмотрим задачу определения поля, сформированного линзой (рис. 7.40).

Рис. 7.40 Дифракция Френеля на квадратичном транспаранте

Пусть в плоскости задано распределение поля . Тогда из (19) получим, что распределение поля в плоскости будет равно

(7.67)

где .

Рассмотрим задачу в одномерном приближении, тогда (7.67) принимает вид:

. (7.68)

Здесь учтено, что в приближении Френеля

Поле после линзы с учётом изменения фазы

(7.69)

где .

Поле в плоскости по аналогии с (7.68) имеет вид:

(7.70)

Подставляя в (7.70) последовательно (7.69) и (7.68) получаем

(7.71)

где — постоянный коэффициент.

Интеграл по табличный, поэтому после интегрирования по можно получить значения поля в любой точке.

Потребуем, чтобы плоскости и были оптически сопряжёнными, т.е. выполнялось соотношение: . Тогда (7.71) принимает вид:

(7.72)

При этом учтено, что

Используя фильтрующее свойство δ-функции:

из (7.72) получаем

Последнее выражение показывает, что поле в плоскости подобно полю в плоскости с коэффициентом подобия , равным линейному увеличению линзы. В двумерном случае поля в оптически сопряжённых плоскостях с точностью до константы C связаны соотношением:

_.(7.73)

Аналогичным образом связаны между собой интенсивности света в этих плоскостях:

_. (7.74)

Соотношения (7.73) и (7.74) дают возможность определять поля и их интенсивности в оптически сопряжённых плоскостях оптической системы. Например, если линза преобразует лазерный пучок излучения, а плоскости и являются оптически сопряжёнными, то распределение интенсивностей света в них определяется соотношением (7.74).

Задачи и примеры

Задача1. Рассчитать фазовую бинарную пластинку Френеля радиуса , изготовленную из стекла с показателем преломления , проецирующую точечный монохроматический источник света P_o_, находящийся на расстоянии - от пластинки в точку P, находящуюся от неё на расстоянии .

В ходе расчёта найти:

— общее число зон Френеля;

— радиус отдельной j -ой зоны Френеля;

— глубину травления четных зон бинарной фазовой пластинки;

— наименьшую ширину зоны Френеля.

Решение

Общее число N зон Френеля найдем из условия: ,

где и – стрелки прогиба радиусов и на радиусе r пластинки. С учётом формулы (7.15), получаем:

Отсюда

где — оптическая сила зонной пластинки.

Отсюда можно определить радиус отдельной зоны Френеля

где j=1,2,…N.

Глубина травления h должна обеспечивать скачок фазы на π или разность хода для соседних зон, т.е. . Отсюда

Площадь каждой зоны Френеля одинакова, т.е. не зависит от номера зоны. Действительно

Наименьшую ширину имеет, следовательно, последняя N -ая зона. Она определяется из условия: .

Отсюда

Задача 2. С помощью дифракционного интеграла Френеля определить интенсивность излучения на оси отверстия радиуса r=a, освещаемого плоской волной (рис. 7.9). Длина волны - . Показать, что максимумы функции совпадают с точками z_i, в которых в отверстии укладывается нечётное число зон Френеля.

Решение

Дифракционный интеграл в приближении Френеля имеет вид:

В точке Р на оси отверстия x=y=0 и после перехода к полярной системе координат интеграл принимает вид:

Интенсивность в точке Р:

где .

Из последнего выражения следует, что в точках

а) , где m=1, 2, 3…., ,

а в точках

б) , где m=1, 2, 3…., .

Условию а) отвечают, очевидно, точки на оси с координатами , из которых в отверстии наблюдается чётное, а условию б) нечётное число зон Френеля.

Задача 3 Показать, что если отверстие радиуса а из задачи 2 заменить непрозрачным кругом того же радиуса, то интенсивность в центре геометрической тени будет равна I₀.

Решение. Поле в точке Р в отсутствие экранов и диафрагм равно

При наличии экрана по принципу Бабине имеем: ,

где – поле в точке Р от отверстия. С учётом формулы (1) получаем

Интенсивность в точке Р: .

Задача 4. Определить поле, дифрагированное на транспаранте (рис. 7.41), в области Фраунгофера (дальняя зона дифракции) при освещении его плоской волной с амплитудой U₀. Определить интенсивность дифрагированного света. Амплитудное пропускание транспаранта описывается функцией: .

Рис.7.41 К задаче 4

Решение. Искомое поле в плоскости, отстоящей от транспаранта на расстояние z, определяем по принципу суперпозиции следующим образом:

где

, , .

После подстановки исходных данных и преобразований получим:

где .

Интенсивность дифрагированного света

где .

Отметим, что в центре дифракционного кружка (x=0, y=0) интенсивность света равна нулю.

Задача 5. Показать, что при дифракции света на амплитудной решётке с параметрами интенсивность всех чётных максимумов равна нулю.

Решение. Интенсивность света при дифракции на решётке равна , где , .

Здесь , .

Положение главных максимумов функции определяется соотношением:

то есть где . Для чётных максимумов имеем: и тогда . Поскольку , то , следовательно интенсивность всех четных максимумов равна нулю.

Задача 6 Отражательная дифракционная решётка размером L=100 мм освещается по нормали ( = 0). Решётка работает в 3-ем порядке (m=3) при угле блеска _б = 30°. Спектральный диапазон = 500...700 нм. Определить параметры N и характеристики и решётки, при которых для средней длины волны _ср = 600 нм. разрешающая способность R = 3 10⁴