Однородность пространства. Импульс

Однородность пространства означает, что перенос системы вдоль определенного направления в пространстве не меняет ее состояния. При таком переносе все координаты микрочастиц (считаем, что их N, поэтому j = 1, 2, …, N), из которых состоит система, получают одно и тоже приращение . Рассмотрим, как будет при таком переносе изменяться волновая функция системы (принимаем, что , j = 1, 2, …, N).

где оператор

(14.2)

можно назвать оператором параллельного переноса системы частиц (оператор трансляции – это отражено индексом “ tr ”). Так как пространство однородно, то волновая функция и преобразованная волновая функция описывают одно и тоже состояние. Поэтому можно написать: , или .

Подставляя сюда оператор в виде (14.2), получим:

Как отмечалось выше, если некоторый оператор коммутирует с гамильтонианом, то должен быть соответствующий этому оператору интеграл состояния. Дадим определение:

физическая величина, сохранение которой есть следствие однородности пространства, называется импульсом.

В данном случае это будет импульс системы из N микрочастиц. Его оператор имеет вид:

.Если ввести оператор импульса микрочастицы , то . Следовательно, соответствующая физическая величина – импульс системы частиц, как и оператор, будет аддитивна, т.е. будет суммой импульсов отдельных частиц. Действительно, этим физическим свойством обладает импульс системы частиц.

Для нахождения величины константы можно воспользоваться предельным переходом от квантовой механики к классической. Формально этот переход осуществляется в виде предела . В этом случае действие оператора на волновую функцию сводится просто к умножению ее на соответствующую физическую величину, т.е.

, (14.3)

а сама волновая функция принимает вид: , где S – действие. Используем ее:

Учтено, что в классической механике . Сравнение с соотношением (12.3) показывает: .

В результате оператор импульса принимает уже известный вид (см. ф-лу (7.2)): . Соответственно получаем уравнение на собственные функции и собственные значения оператора импульса: