Физическая величина, сохранение которой есть следствие изотропии пространства, называется моментом импульса

или моментом количества движения.

Из этого определения и коммутационного соотношения (15.2) следует, что оператор момента импульса системы микрочастиц должен быть пропорционален оператору . Выразим через вектор и угол поворота δφ. Для этого сам поворот охарактеризуем вектором , который перпендикулярен плоскости поворота и при этом . Тогда ((×) – знак векторного произведения). Далее для скалярного произведения получаем:

. (15.3)

Здесь мы воспользовались свойством смешанного произведения трех векторов, позволяющим делать в нем их циклическую перестановку. Подставляя (15.3) в (15.2), вынося из под знака суммы и убирая вектор , получим:

В соответствии с данным выше определением оператором момента импульса системы следует назвать оператор

, (15.4)

а - оператором момента импульса отдельной частицы. Из (15.4) видно, что оператор момента импульса системы аддитивен, а потому и сам момент импульса системы тоже будет обладать этим свойством, как и наблюдается. В операторе момента импульса частицы можно положить: . Тогда оператор примет уже известный нам вид: , где - оператор импульса.

На практике обычно используются операторы и оператор квадрата момента импульса . Операторы проекций момента импульса не коммутируют друг с другом:

Однако каждый из них коммутирует с оператором

, j = x, y, z.

Поскольку физически момент импульс характеризует повороты системы, на практике более удобным является его определение в сферической системе координат, где используются углы θ и φ. В этой системе координат операторы и имеют вид (см. также ф-лы (7.7)):

. (15.5)

Используя операторы (15.5), можно найти их собственные функции и собственные значения. Получаем: для оператора

; (15.6)

для оператора :

(15.7)

- сферическая функция;

- орбитальное квантовое число;

m = 0, ±1, ±2, …, ± - магнитное (иначе - азимутальное) квантовое число.

Из формул (15.5) и (15.6) видно, что для обоих операторов спектр дискретный, а для оператора он еще и вырожденный. Действительно, собственные значения зависят только от квантового числа , тогда как собственные функции еще и от квантового числа m, и кратность вырождения будет .

Сферические функции хорошо известны в математической физике, они широко используются при решении задач квантовой механики. Их явный вид довольно сложен, и мы его приводить не будем. Однако, ввиду важности этих функций перечислим их главные свойства, которые позволяют их применять на практике.

1. Функции - комплексные:

. (15.8)

2. Они ортонормированы:

. (15.9)

Здесь dΩ = sinθdθdφ – элемент телесного угла, δ_jk – символ Кронекера (см. (6.2)).

3. Обладают свойством полноты, т.е. произвольную функцию Ψ (θ, φ), удовлетворяющую стандартным условиям, можно по представить в виде разложения

, (15.10)

. (15.11)

4. Мнимость сферической функции и ее зависимость от угла φ определяется только собственной функцией оператора , которую она содержит в виде сомножителя:

, (15.12)

где функция от угла θ – действительная, т.е. . Как следствие соотношения (15.12), сферическая функция является собственной еще и для оператора :

. (15.13)

5. Приведем вид сферических функций низших порядков по индексу , часто использующихся в приложениях:

Лекция 16

СВОЙСТВА ПРОСТРАНСТВА-ВРЕМЕНИ

И ИНТЕГРАЛЫ СОСТОЯНИЯ: ЧЕТНОСТЬ

Предположим, что в пространстве имеется центр симметрии. Это означает, что состояние системы, состоящей из N частиц, не изменится при замене знака у координат всех частиц, т.е. при замене

(j = 0, 1, …, N). Операция такого рода называется инверсией, и можно ввести оператор инверсии : .

Поскольку при наличии центра симметрии в пространстве состояние системы не изменяется, гамильтониан системы должен коммутировать с оператором инверсии:

. (16.1)

Из (16.1) следует, что должен быть некоторый интеграл состояния системы. В данном случае его называют четностью состояния. Выясним, что это означает.

Предположим, что решение уравнения Шредингера для стационарных состояний нам известно, в частности, известна волновая функция Ψ(ξ). Поскольку операторы и коммутируют, у них должна быть общая система собственных функций (см. окончание лекции 5). Следовательно, волновая функция Ψ(ξ) будет собственной функцией и оператора инверсии :

, (16.2)
где - собственное значение. Подействуем на это уравнение оператором еще раз и учтем, что двукратное действие этого оператора является тождественным преобразованием, т.е. .

В итоге: .

Это означает: когда , волновая функция четная, а когда - нечетная. Говорят, что волновая функция обладает определенной четностью и это ее свойство и будет интегралом состояния – четностью.

Пример 1. Квантовая система – одномерный гармонический осциллятор с массой m и частотой колебаний ω.

В этом случае гамильтониан имеет вид:

Видно, что в точке 0 имеется центр симметрии, так как . Следовательно, состояния такого осциллятора должны обладать определенной четностью. И действительно, можно показать, что решение уравнения Шредингера дает волновые функции Ψ_n(x), зависящие от квантового числа n = 0, 1, 2, …, и оно будет определять четность состояний:

Ψ_n(-x) = (-1)ⁿΨ_n(x).

В итоге, состояния квантового осциллятора с четными значениями n = 0, 2, … будут четными, а с нечетными значениями n = 1, 3, … - нечетными.

Пример 2. Квантовая система – частица, движущаяся в поле центральных сил.

В этом случае потенциальная энергия частицы зависит только от . Гамильтониан в этом случае при замене изменяться не будет, и четность должна быть интегралом состояния. Можно показать, что в данной задаче в переменных (r, θ, φ) волновая функция имеет вид: ,

где вид функции R(r) зависит от вида потенциальной энергии и находится из уравнения Шрёдингера, а - это уже известная нам сферическая функция с известными свойствами. При операции инверсии в сферической системе координат :

Здесь собственное значение оператора четности и определяет четность состояний системы: для четных значений орбитального квантового числа состояния обладают положительной четностью, а для нечетных значений - отрицательной.