Запасы устойчивости по амплитуде и фазе

       Линейная система устойчива, если с течением времени переходная составляющая процесса стремится к нулю:

x_пер.(t) = 0, x_пер.(t) = , где с_i – постоянные интегрирования,

p_i – корни характеристического уравнения исследуемой САУ.

       Уравнение динамики системы (рис.2.1) в изображении по Лапласу имеет вид

[1+W_p(p)]·Y(p) = W_p(p)·X_y(p)±W_II(p)·X_в(p),

где W_p(p) = W_I(p)· W_II(p) = K(p)/D(p) – передаточная функция разомкнутой системы. Уравнение свободного режима [1+W_p(p)]·Y(p) = 0.

       Характеристическое уравнение замкнутой САУ:

A(p) = K(p)+D(p) = 0.

       Для устойчивости линейной замкнутой САУ   необходимо и достаточно, чтобы вещественные части корней характеристического уравнения были отрицательными, т.е. лежали в левой части комплексной плоскости.

       Замкнутая система должна быть не просто устойчивой, а обладать определенными запасами устойчивости по амплитуде и по фазе. Запас устойчивости по амплитуде определяется либо величиной

 ΔA = 1-A_π, либо величиной 1/ A_π

(в логарифмических единицах L_π = 20·lg(1/A_π)[дБ]), где A_π - значение модулявектора W_p(jω), аргумент которого равен φ = -π (рис.2.2).

Рис.2.2. Определение запаса устойчивости по фазе γ

и модулю ΔA (1/А_π)

           Запас устойчивости по фазе обозначается γ и определяется на частоте среза ω_с, при которой амплитуда A(ω_с) = 1,

γ = 180⁰+φ(ω_с),                                                    (2.1)

где φ(ω_с) - значение аргумента вектора W_p(jω) при ω = ω_с.

           Изображенные на рис.2.2 и 2.3 годограф W_p(jω) и логарифмические характеристики разомкнутой системы показывают, что система в замкнутом состоянии устойчива и обладает запасом устойчивости по фазе γ > 0 и по амплитуде

L_π = 20·lg(1/A_π) > 0 (1/A_π > 1).

 

Рис.2.3. Определение запаса устойчивости по ЛАЧХ и ЛФЧХ

               

           Коэффициент усиления, при котором замкнутая САУ находится на границе колебательной устойчивости называется предельным К_пред.

       На основании критерия устойчивости Найквиста предельный коэффициент усиления может быть определен соотношением

               

                                          К_пред = К·(1/A_π).

 

           Предельный коэффициент усиления САУ можно определить по логарифмическим частотным характеристикам (рис.2.3.)

       20·lgК_пред = 20·lgK – 20·lg A_π.

       Если коэффициент усиления разомкнутой системы меньше предельного коэффициента К_пред, то система устойчива и обладает запасом устойчивости (по фазе, модулю). В противном случае - система неустойчива.

Точность работы САУ

       Точность работы САУ определяется ошибкой, которая равна разности между задающим значением и значением выходного сигнала при t→∞, т.е.

       .

       В соответствии со структурной схемой САУ (рис.2.1) ошибка в изображении по Лапласу

       X₀(p) = . (2.2)

 

       Уравнение (2.2.) дает возможность получить ошибку и в переходном и в установившемся режимах по управляющему X_y(p) и возмущающему X_в(p)воздействиям. Для определения ошибки в установившемся режиме можно воспользоваться теоремой о предельном значении преобразования Лапласа:        

                             . (2.3)

 

           В зависимости от вида входного сигнала получаем различные виды ошибок. Так, при подаче на вход ступенчатого воздействия в установившемся режиме возникает с татическая ошибка:

(2.4)

 

           Кинетическая ошибка x_{кин .} или скоростная возникает в установившемся режиме после отработки линейно возрастающего входного воздействия x_у(t) = V·t или X_у(p) = V/p²,

               

где .                        (2.5)

 

           При отработке входного воздействия, изменяющегося по квадратичному закону , в установившемся режиме возникает ошибка по ускорению:

           ,     (2.6)

 

           Как видно из формул (2.4 - 2.7), ошибки зависят от уровня входного сигнала, от порядка астатизма системы, равного разности числа интегрирующих и дифференцирующих звеньев, лежащих в цепи обратной связи по отношению к заданному входному сигналу и сигналу ошибки.