Критерий совместности общей линейной системы

Рассмотрим неоднородную линейную систему уравнений с неизвестными

(3)

и сформулируем условия её совместности. Дописывая к основной матрице столбец из свободных членов, получим расширенную матрицу

В теории линейных систем важнейшую роль играет

Теорема (критерий Кронекера-Капелли). Система (3) совместна тогда и только тогда, когда ранг её расширенной матрицы равен рангу основной матрицы:

Доказательство.

Необходимость. Пусть система (3) совместна, т.е. существует набор чисел такой, что имеют место равенства

(4)

На языке столбцов равенства (4) записываются так:

. (5)

Рассмотрим линейную оболочку , порождённую столбцами расширенной матрицы. В силу равенства (5) столбец линейно зависит от столбцов , поэтому (одно из свойств линейной оболочки) это столбец можно исключить из оболочки, не изменяя её:

Но тогда

Достаточность. Пусть . Рассмотрим базисных столбцов матрицы , они являются базисными и для расширенной матрицы . По теореме о базисном миноре последний столбец матрицы , т.е. столбец , может быть представлен в виде линейной комбинации её базисных столбцов. Добавляя к такой комбинации все небазисные столбцы матрицы (например, с нулевыми коэффициентами), получаем, что существуют числа такие, что справедливо равенство (5). А это и означает, что - решение системы (3), т.е. система совместна.¨

Пример 2. Рассмотреть с точки зрения критерия Кронекера-Капелли очевидно несовместную систему (пример из п. 1).

Решение. Для этой системы

основная матрица ,

расширенная матрица .

Здесь - условие теоремы не выполнено, система несовместна.¨

Пример 3. Выяснить, когда три прямые

проходят через одну точку.

Решение. Переведём геометрическую задачу на язык линейных систем: при каком условии совместна система трёх линейных уравнений с двумя неизвестными