Общее решение однородной системы

Рассмотрим однородную систему (2), соответствующую системе (3).

(2)

Так как все , то формулы (7) принимают вид

(13)

- это и есть общее решение однородной системы (2).

Выше (п. 16) было отмечено, что совокупность решений однородной системы образует линейное пространство. Чтобы определить его размерность и построить базис, воспользуемся понятием изоморфизма линейных пространств. Каждому решению системы (2) поставим в соответствие вектор - элемент некоторого -мерного координатного пространства. Так как произвольно выбранные свободные неизвестные однозначно определяют решение и, наоборот, в любом решении однозначно определены последние неизвестных, то предложенное соответствие является взаимно однозначным. Как следует из формул (13), при таком соответствии сохраняются линейные операции. Значит, это соответствие есть изоморфизм: пространство решений однородной линейной системы с неизвестными и рангом матрицы коэффициентов изоморфно пространству :

~ .

Осталось построить базис в -мерном пространстве решений линейной однородной системы. Любой базис в , т.е. любой набор из линейно независимых решений однородной системы (2) называется фундаментальной системой решений (ФСР). В силу изоморфизма для построения ФСР можно воспользоваться любым базисом в пространстве .

Простейший базис в образуют векторы

Соответствующее вектору решение системы (2) получим, полагая в формулах (13) . Результат записан в первой строке соотношений (14). Решение , соответствующее вектору получим, полагая в (13) - вторая строка в (14). Наконец, решение получим, когда свободным неизвестным придадим значения , это решение записано в последней строке:

(14)

Заметим, что построенная система решений линейно независима (обратите внимание на единичную матрицу , ).

Решения , определяемые формулами (14), образуют простейший базис в - нормальную фундаментальную систему решений однородной системы (2). При наличии базиса любое решение однородной линейной системы представляется в виде:

, (15)

где - произвольные постоянные. Формула (15) даёт общее решение однородной системы (2).

Если , то фундаментальная система состоит из одного решения, т.е. решение однородной системы определяется с точностью до коэффициента пропорциональности - любые два решения отличаются лишь постоянным множителем.

Если , то единственным решением однородной системы является тривиальное.

Пример 7. Пусть в системе (8) все правые части равны нулю. Построить нормальную фундаментальную систему решений и записать в виде (15) общее решение однородной системы.

Решение. Из формул (10) при замене чисел –23 и 16 нулями получаем общее решение однородной системы, соответствующей системе (8):

= .

Придавая свободным неизвестным значения, соответствующие строкам единичной матрицы , найдём основные неизвестные и построим частные решения - нормальную ФСР. Результат удобно оформить в виде таблицы:


1	-2	1	0	0
1	-2	0	1	0
5	-6	0	0	1

Решения линейно независимы и образуют базис в пространстве решений однородной системы, поэтому общему решению можно придать вид:

= .¨

Пример 8. Убедиться, что в качестве решения системы уравнений с неизвестными

можно взять совокупность миноров , полученных из матрицы системы

вычёркиванием поочерёдно каждого столбца, причём миноры берутся с чередующимися знаками.

Решение. Поскольку предложенная совокупность миноров с точностью до знака совпадает с - алгебраическими дополнениями отсутствующей -ой строки, то в соответствии с примером 1 она представляет собой решение данной системы. Если хотя бы один из миноров отличен от нуля (т.е. ), то это решение и есть базисное, а все другие ему пропорциональны.¨