2020-04-12
246
С теоремой, получившей известность как альтернатива Фредгольма (без кавычек), ещё предстоит встретиться при изучении раздела «Интегральные уравнения». А сейчас предлагается некоторый аналог этой теоремы для квадратных линейных систем.
Теорема. Для квадратных линейных систем
(11)
имеет место «альтернатива Фредгольма»:
или неоднородная система (11) имеет решение, притом единственное, при любой правой части 
,
или нетривиально совместна соответствующая однородная система
(12)
В этой теореме сконцентрирована вся теория квадратных систем линейных уравнений. Необходимые фрагменты доказательства встречались выше, осталось собрать их вместе. Так как квадратная матрица 
может быть либо вырожденной, либо невырожденной, то рассмотрим два случая.
1. Пусть 
, тогда система (11) в силу теоремы Крамера имеет единственное решение при любой правой части 
, в том числе при 
- тривиальное.
2. Пусть 
, тогда 
и однородная система (12) нетривиально совместна. Что касается неоднородной системы (11), то, очевидно, не со всяким столбцом выполняется условие совместности 
. Если же при некоторой правой части система и совместна, то она неопределена, так как её общее решение содержит 
свободных неизвестных.¨
Заметим, что приведенная теорема - это критерий Кронекера-Капелли для квадратных систем, сформулированный в виде альтернативы.
