2020-04-12
1406
Два случайных события называются совместными, если наступление одного события не исключает наступления второго события в том же самом наблюдении. Например, при бросании игральной кости событием А считается выпадение числа 4, а событием В – выпадение чётного числа. Поскольку число 4 является чётным числом, эти два события совместимы. В практике встречаются задачи по расчёту вероятностей наступления одного из взаимно совместных событий.
Теорема сложения вероятностей для совместных событий. Вероятность того, что наступит одно из совместных событий, равна сумме вероятностей этих событий, из которой вычтена вероятность общего наступления обоих событий, то есть произведение вероятностей. Формула вероятностей совместных событий имеет следующий вид:
При использовании формулы следует учитывать, что события А и В могут быть:
взаимно независимыми;
взаимно зависимыми.
Формула вероятности для взаимно независимых событий:
Формула вероятности для взаимно зависимых событий:
|
|
|
Если события А и В несовместны, то их совпадение является невозможным случаем и, таким образом, P (AB) = 0. Четвёртая формула вероятности для несовместных событий такова:
Пример 3. На автогонках при заезде на первой автомашине вероятность победить 
, при заезде на второй автомашине 
. Найти:
вероятность того, что победят обе автомашины;
вероятность того, что победит хотя бы одна автомашина;
Решение.
1) Вероятность того, что победит первая автомашина, не зависит от результата второй автомашины, поэтому события А (победит первая автомашина) и В (победит вторая автомашина) – независимые события. Найдём вероятность того, что победят обе машины:
2) Найдём вероятность того, что победит одна из двух автомашин:
Решить задачу на сложение вероятностей самостоятельно, а затем посмотреть решение
Пример 4. Бросаются две монеты. Событие A - выпадение герба на первой монете. Событие B - выпадение герба на второй монете. Найти вероятность события C = A + B.
Решение:
или через противоположное событие
Пример 5.
Магазин получил продукцию в ящиках с четырех оптовых складов: четыре с 1-го, пять со 2-го, семь с 3-го и четыре с 4-го. Случайным образом выбран ящик для продажи. Какова вероятность того, что это будет ящик с первого или третьего склада.
Решение:всего получено магазином: 4 + 5 + 7 + 4 = 20 ящиков.
В данной задаче удобнее воспользоваться «быстрым» способом оформления без расписывания событий большими латинскими буквами. По классическому определению:
– вероятность того, что для продажи будет выбран ящик с 1-го склада;
– вероятность того, что для продажи будет выбран ящик с 3-го склада.
|
|
|
По теореме сложения несовместных событий:
– вероятность того, что для продажи будет выбран ящик с первого или третьего склада.
Ответ: 0,55
Решить задачи
1. В ящике 50 мячиков одинаковых размеров: 20 красных, 15 синих и 15 белых. Вычислить вероятность того, что не глядя будет взят цветной (не белый) мячик.
2. Цель в тире разделена на 3 зоны. Вероятность того что некий стрелок выстрелит в цель в первой зоне равна 0,13, во второй зоне – 0,25, в третьей зоне – 0,19. Найти вероятность того, что стрелок попадет в цель и вероятность того, что стрелок попадёт мимо цели.
3. На автогонках при заезде на первой автомашине вероятность победить Р1=0,5, при заезде на второй автомашине Р2=07.
Найти:
А) вероятность того, что победят обе автомашины;
Б) вероятность того, что победит хотя бы одна автомашина;
4. Магазин получил продукцию в ящиках с четырех оптовых складов: пять с 1-го, шесть со 2-го, четыре с 3-го три с 4-го. Случайным образом выбран ящик для продажи. Какова вероятность того, что это будет ящик с первого или третьего склада.
5. В каждом из трех ящиков имеется по 10 деталей. В первом ящике 8 стандартных деталей, во втором – 7, в третьем – 9. Из каждого ящика наудачу извлекают по одной детали. Найти вероятность того, что все детали окажутся стандартными.
6. В трех урнах имеется по 6 белых и по 4 черных шара. Из каждой урны извлекают наудачу по одному шару. Найти вероятность того, что: а) все три шара будут белыми; б) все три шара будут одного цвета.
