Разгон до параболической скорости при минимальном времени работы ДУ

 

       Космический аппарат, оснащенный нерегулируемым двигателем малой тяги, стартует с начальной круговой орбиты и должен разогнаться до параболической скорости.

 

       Уравнения движения в безразмерных переменных имеют вид[1]:

 

 

 

где r – радиус; u – радиальная скорость; v – трансверсальная скорость; φ – полярный угол, a – постоянное реактивное ускорение; λ – угол, определяющий ориентацию вектора тяги двигателя в плоскости орбиты; t_M – моторное время;

 

.

 

Требуется найти функции  и , которые обеспечивают минимум времени работы двигателя при заданном времени разгона t_k и при условии достижения параболической скорости в момент времени t = t_k: .

 

Оптимизация траектории движения носителя

 

Допущения: – аэродинамические силы отсутствуют;

                   – гравитационное поле – плоско-параллельное;

                   – планета не вращается.

 

                   Модель движения в начальной стартовой системе координат:

 

 

,

 

где h – высота;

       m – масса ЛА;

P – сила тяги двигателя;

J – удельный импульс;

β – секундный расход топлива;

β_m – максимально возможный расход топлива;

       g  – ускорение силы тяжести;

       g₀ – ускорение силы тяжести на поверхности планеты;

       R_P – радиус планеты. 

 

Используя необходимые условия оптимального управления, найти программы управления вектором тяги  и расходом топлива, , которые обеспечат выход взлетной ступени на круговую орбиту вокруг Луны  при минимальных затратах топлива.

 

Исходные данные – взлетная ступень лунного модуля должна выйти на орбиту командного модуля Аполлон.