Преобразование Фурье и его свойства

В основе спектрального анализа непериодических сигналов лежат прямое

(1.31)

и обратное

(1.32)

преобразования Фурье. Функцию называют спектральной функцией (иногда говорят «спектральная плотность» или просто «спектр») сигнала s(t). Установлено, что преобразования (1.31) и (1.32) существуют, если сигнал s(t) удовлетворяет условиям Дирихле (по аналогии с сигналом r(t) на периоде, см. § 1.2), к которым добавляется требование абсолютной интегрируемости сигнала:

Спектральная функция в общем случае является функцией комплексной и с учетом формулы Эйлера может быть представлена как

(1.33)

Определенный интеграл от нечетной функции в симметричных пределах равен нулю. Представляя в (1.33) сигнал s(t) в виде суммы четной и нечетной функций , легко видеть, что косинусоидальное преобразование Фурье определяется четной, а синусоидальное преобразование Фурье — нечетной частями сигнала s(t). Отсюда следует практически полезный вывод: преобразование Фурье четной функции s(t) всегда вещественная, нечетной функции s(t) — всегда мнимая функции частоты .

Далее, рассматривая обратное преобразование Фурье , можно показать, что — четная, а — нечетная функции частоты :

Доказательство предлагается самостоятельно провести читателю (следует учесть, что обратное Фурье-преобразование должно быть вещественной функцией времени).

Отсюда вытекает еще одно важное свойство :

(1.34)

т. е. для нахождения функции, комплексно сопряженной исходной спектральной, достаточно поменять знак аргумента .

Спектральную функцию можно представить в показательной форме:

(1.35)

Здесь

есть амплитудная спектральная функция (часто, несмотря на неточность термина, говорят «амплитудный спектр»), а

есть фазовая спектральная функция («фазовый спектр» или спектр начальных, т. е. соответствующих моменту времени t=0, фаз). Очевидно, что амплитудный спектр является четной, а фазовый спектр — нечетной функциями . Принимая это во внимание и подставляя (1.35) в (1.32), получим соотношение

(1.36)

иллюстрирующее «физический смысл» спектральной функции: сигнал s(t) представляется в виде суммы бесконечно большого числа гармонических составляющих с бесконечно малыми амплитудами , непрерывно заполняющих интервал частот от 0 до ; начальные фазы этих составляющих заданы функцией , а частотная зависимость «плотности» бесконечно малых амплитуд описывается функцией . Второй интеграл в соотношении (1.36) поясняет смысл «отрицательных» частот, существование которых прямо предполагает выражение (1.32) (см. пределы интегрирования в упомянутой формуле): их появление связано с характером прямого и обратного преобразований Фурье как математических операций и физически нереально. Эти соображения полезно сравнить с результатами, полученными в §§ 1.2 и 1.3.

Размерность спектральной функции есть размерность сигнала, умноженная на время; так что, если размерность s(t) — вольты, то

Симметрия преобразований Фурье. Пусть четному сигналу s(t) соответствует вещественный спектр , который, в свою очередь, будет являться четной функцией частоты ; тогда сигналу S(t) должен соответствовать спектр . Именно «взаимозаменяемость» аргументов и t, входящих в ядро , и подразумевают, говоря о симметрии пары интегральных преобразований (1.31) и (1.32). Симметрия становится очевидной, если в рассмотрение введены комплексные сигналы.

Связь спектра периодической последовательности и спектральной функции одиночного импульса. Сравнивая выражение (1.22) для коэффициентов ряда Фурье в комплексной форме