Спектральные функции произведения и свертки сигналов

Сверткой функций f(t) и g(t) называют интеграл вида

                                                                                                             (1.54)

Интегральное преобразование (1.54) часто используется в теоре­тической радиотехнике [1, 3, 9].        

Спектр произведения сигналов (теорема о свертке спектров). Пусть f[t) и g(t) — сигналы со спектральными функциями соответственно. Тогда сигналу s(t)  — f(f)-g(t) соответствует спек­тральная функция

                                               (1.55)

Спектральная функция произведения сигналов есть свертка их спектральных функций (с коэффициентом ).

Теорема Рэлея. При  из выражения (1.55) следует теорема Рэлея:

                                              (1.56)

Здесь учтено соотношение (1.34) .

Равенство Парсеваля. При из теоремы Рэлея сле­дует равенство Парсеваля

                                    (1.57)

Спектр свертки сигналов. Пусть и  — сигналы со спектральными функциями и  соответственно. Будем искать спектральную функцию свертки (1.54) этих сигналов, для чего представим функцию  как обратное преобразование Фурье (1.32) спектральной функции :                                             |

Таким образом,

                     

Показано (изменением не влияющего на результат порядка ин­тегрирования в двойном интеграле), что спектральная функция свертки сигналов есть произведение их спектральных функций:

                                                                                                             (1.58)

Это важнейшее для дальнейшего изложения соотношение, связы­вающее, в частности, временной и спектральный подходы к анализу преобразований сигналов в линейных цепях.

1.8. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ НЕКОТОРЫХ НЕИНТЕГРИРУЕМЫХ АБСОЛЮТНО СИГНАЛОВ

Математические модели некоторых широко используемых в теоретической радиотехнике сигналов не удовлетворяют условию абсолютной интегрируемости (1.33). Следовательно, преобразо­вание Фурье в обычном виде к ним неприменимо.

Распространить методы преобразования Фурье на сигналы та­кого рода позволяет использование функции Дирака , спек­тральная характеристика которой была определена в § 1.5.

Спектральная функция постоянного во времени сигнала. Восполь­зуемся результатом (1.59) и запишем спектральную функцию по­стоянного во времени (очевидно, абсолютно неинтегрируемого) сигнала :

                                                                                            (1.59)

Физический смысл этого результата очевиден — постоянному во времени сигналу соответствует спектр, состоящий из единст­венной составляющей на нулевой частоте —

Преобразование Фурье функции Хевисайда. График функции Хевисайда (1.8) показан на рис. 1.10.

Согласно (1.12), производной функции Хевисайда является -функция, спектр которой, в соответствии с (1.38), оказывается равным единице:

                                                          

Тогда спектральная функция  в силу соотношений (1.9) и (1.53) есть

                                                                                                          (1.60)

Спектр сдвинутой во времени функции Хевисайда  фор­мально следует записывать как

                                                   

но так как отлична от нуля лишь при , спектр представляют в виде

                                                                                                           (1.61)

Преобразование Фурье гармонического сигнала. Гармонический сигнал (1.1) также является неинтегрируемой абсолютно функцией. Введем начальную фазу  и будем с учетом (1.40) искать спектральную функцию сигнала :

           (1.62)

Гармоническому колебанию с конечной амплитудой соответст­вует спектральная функция с -особенностями в точках  частотной оси. Положив в (1.62)  и , как частный случай получим уже известный результат (1.59) — спектр постоян­ного во времени сигнала.

Продемонстрировано использование -функции при формаль­ном применении преобразования Фурье к простейшим неинтегрируемым абсолютно сигналам (в частности, к периодическому) и тем самым показана принципиальная возможность единого подхода к спектральному анализу периодических и непериодических сигналов.

Замечание 1

Изложенное в некоторых случаях позволяет заметно упро­стить вычисления; рассмотрим, например, сигнал, представ­ленный как произведение двух функций, каким, по существу, является радиосигнал (1.14)

                                                   

Спектральная функция произведения сигналов рассматрива­лась в § 1.6. Обозначим через спектр огибающей , по­ложим , воспользуемся формулами (1.62) для спектра гармонической функции при  и  подставим эти спектры в формулу (1.55), полагая  и . Тогда спектр радиосигнала :

Использовано фильтрующее свойство  -функции (1.11). Аргументами, при которых существуют  и  здесь являются соответственно  и .

На функцию U(t) не накладывалось никаких ограничений; в то же время полученное выражение в точности совпадает с результатом (1.44), приобретающим, таким образом, общее значение.

О вычислении спектра сигнала, представленного кусочно-полино­миальной функцией. Если модель финитного сигнала представлена кусочно (на отдельных интервалах) или полностью только функциями вида

                                        

то для вычисления его спектральной функции целесообразно при­менение процедуры -кратного дифференцирования s(t) с по­следующим определением спектра производной и, с ис­пользованием оператора интегрирования в частотной области , собственно спектра сигнала.

Пример 1. Возьмем прямоугольный видеоимпульс (1.48), являю­щийся на интервале  полиномом степени n = 0. Производная сигнала (1.48):

                                                  

(заметим, что сигнал (1.48) можно трактовать как сумму двух функций Хевисайда, . Спектральная функ­ция первой производной:

                                                   

спектральная функция сигнала

Проще было бы сразу обратиться к формулам (1.60) и (1.61), но здесь речь идет о демонстрации универсального и практически весьма полезного приема, основанного на использовании результа­тов (1.38) и (1.41) и теорем о спектрах производной и интеграла переменным верхним пределом от сигнала, изложенных в § 1.4.

Так как сигнал является первообразной функцией для своей производной, «площадь» под графиком производной финитного сигнала оказывается равной нулю:

                                        

То же справедливо и для производных более высоких порядков. Таким образом, условие (1.52) всегда выполняется.

Сигнал s(t) дифференцируют до тех пор, пока его производная не станет представлять собой последовательность  -функций и про­изводных   -функций. Процесс дифференцирования удобно сопро­вождать соответствующими рисунками.

Пример 2. Вычислим спектральную функцию сигнала (1.5), представленного на интервале  полиномом степени п = 1. Сигнал, его первая и вторая производные показаны на рис. 1.11, а, б, в. Выражение

                                         

позволяет сразу записать спектральную функцию второй производ­ной:

                                         

Замечание 2

Производная , как и производные  более высоких порядков — понятие физически бессодержательное и его сле­дует воспринимать здесь формально: спектром n-й производ­ной -функции является .

Рис. 1.11. Вычисление спектра треугольного импульса

методом дифференцирования: а — исходный сигнал, б — первая производная, в — вторая производная

Далее, дважды используя оператор интегрирования в частотной области, получаем спектральную функцию сигнала s(t):

                                             

Преобразование полученного для выражения в показатель­ную форму (1.36) и его анализ читателю предлагается выполнить самостоятельно.

    1.9. ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ СООТНОШЕНИЯ В СПЕКТРАЛЬНОМ АНАЛИЗЕ

Удельная энергия сигнала. Энергетические параметры сигнала вводят, опираясь на следующие положения:

• пусть s(t) есть напряжение или ток; тогда мгновенная мощность сигнала (Вт) определяется как

                                                        

• напряжение действует на активном сопротивлении R= 1 Ом; ток проходит через активное сопротивление R =1 Ом; тогда мгно­венная удельная (приходящаяся на 1 Ом) мощность сигнала (Вт) численно определяется как

                                                   

а удельная энергия сигнала (Дж) равна:

                                                                                                                     (1.63)

вне зависимости от размерности (В или А) сигнала , что очень удобно. В дальнейшем при всяком упоминании термина «мощность» или «энергия» определение «удельная», как и индекс «уд», опускается, но (если нет специальных оговорок) подразумева­ется; так что В², А² непосредственно определяют мощность, а , — энергию.

Энергетический спектр детерминированного сигнала. Обратившись к равенству Парсеваля (1.57), немедленно получаем выражение для энергии сигнала:

                                                (1.64)

Квадрат модуля спектральной функции

                                                                                                             (1.65)

называют энергетическим спектром сигнала . Энергетический спектр не зависит от фазового спектра сигнала и является вещест­венной неотрицательной  и четной функ­цией частоты. Размерность энергетического спектра . Энергетический спектр, или «спект­ральная плотность энергии», описывает распределение энергии сигна­ла по частоте. Это позволяет, в частности, оценивать долю энергии сигнала, приходящуюся на тот или иной частотный интервал.

Пример 1. Полная энергия радиоимпульса (1.15):

Если длительность радиоимпульса Т много больше периода частоты заполнения Т_о, , то интеграл , или, что то же, , и полная энергия радиоимпульса , т. е. в два раза меньше энергии соответст­вующего видеоимпульса (см. замечание 1 в § 1.5).

Удельная мощность непрерывного и периодического сигналов. Оп­ределим полную удельную энергию непрерывного сигнала (1.2), существующего при :

                               

Использован табличный интеграл [4]. Оказывается, модель (1.2) — это модель непрерывного и существующего на бесконечном временном интервале сигнала с ограниченной, конечной энергией. Но чаще встречаются модели неограниченно протяженных во времени (например периодических) сигналов, энергия которых бесконечно велика. Энергетическую оценку моделей таких сигналов проводят, вводя среднюю удельную мощность

                                  или

где Т— произвольный временной интервал.

Для периодических сигналов, энергия которых бесконечно ве­лика по определению, усреднение удобно проводить по периоду Т:

                                                                                                                  (1.67)

Средняя удельная мощность гармонического сигнала (1.1) . Применяя формулу (1.67) к периодическому сигналу , представленному в форме (1.16) или (1.19) ряда Фурье, и при­нимая во внимание условия ортогональности (1.23), для средней мощности Р такого сигнала получим:

                                               (1.68)

Полная средняя мощность периодического сигнала равна сумме средних мощностей составляющих сигнал гармоник, включая, естест­венно, мощность постоянной составляющей («нулевой» гармоники).

Замечание

Иногда используют так называемый односторонний энерге­тический спектр N(f), аргументом которого выступает линей­ная частота . Односторонний N(f) существует только при , и вводят его так, чтобы энергия сигнала в полосе частот определялась простым соотношением

                                                               

Для определения связи между N(f) и рассмотрим пример: задан сигнал с энергетическим спектром , существующим в интервале круговых частот . В соответствии с (1.64) полная (удельная) энергия этого сигна­ла (Дж)

                                           

Если используется соответствующий односторонний спектр , то

                                                     

так как . Следовательно, численная связь меж­ду N(f) и определяется соотношением

Например, если ,то .

1.10. КОРРЕЛЯЦИОННЫЙ АНАЛИЗ ДЕТЕРМИНИРОВАННЫХ СИГНАЛОВ

В теории сигналов наряду со спектральным широко использует­ся корреляционный анализ.

Корреляционная функция (КФ) детерминированного сигнала с ограниченной энергией s(t) определяется выражением

                                                                                                      (1.69)

где  — временной сдвиг копии сигнала s(t).

При вычислении корреляционной (иногда говорят «автокор­реляционной») функции финитных сигналов бесконечные пределы интегрирования в (1.69) заменяют на конечные, определяемые ин­тервалом времени, на котором подынтегральная функция  отлична от нуля.

Пример 1. Корреляционная функция прямоугольного видеоим­пульса.

На рис. 1.12 показано взаимное расположение сигнала (1.48) и его сдвинутой на время  копии  при положительных (рис. 1.12, а) и отрицательных (рис. 1.12, б) значениях . Область существования отличного от нуля произведения  заштри­хована.

Рис. 1.12. Вычисление корреляционной функции прямоугольного видеоимпульса:

-для                            

-для                         

Полученные выражения можно объединить и записать КФ в виде

                                  

Аргументом КФ является  — временной сдвиг копии относи­тельно сигнала s(t); легко видеть, что корреляционная функция сигнала (приведена на рис. 1.13) не зависит от положения s(t) на временной оси: вычисление КФ прямоугольного видеоимпульса (1.4) вновь приведет к результату (1.70).

 

    Свойства КФ сигналов с ограниченной энергией:

1)  т. е. при  = 0 значение КФ численно равно полной удельной энергии сигнала. Размерность КФ сигнала с конечной энергией ;                                                   

2) B(0) B(t),т. е. КФ имеет максимум при  = 0 (без доказательства);

Рис. 1.13. Корреляцион­ная функция прямоуголь­ного видеоимпульса

3) ,т.е. КФ является четной функцией

аргумента  (доказывается заменой перемен­ной);

4  (без доказательства).

    

Рис. 1.14. Вычисление ВКФ прямоугольного и треугольного импульсов:

Взаимная корреляционная функция (ВКФ)   сигналов с огра­ниченной энергией и определяется выражениями

                                                            (1.71)

Корреляционная функция является частным случаем взаимной корреляционной функции при .

Пример 2. ВКФ прямоугольного (1.47) и треугольного импульсов. Пусть

                                              и

 

Взаимное расположение сигналов и для и  показано на рис. 1.14, а, б.

После выполнения соответствующих расчетов получаем следующий результат:

-  при .

-  при

График ВКФ прямоугольного и треугольного импульсов приведен на рис. 1.15.

Рис. 1.15. ВКФ прямо­угольного и треугольного импульсов

 

Свойства ВКФ сигналов с ограниченной энергией:

1)  не обязательно является максимальным значением . В качестве при

мера рекомендуется самостоятельно рассмотреть ВКФ сигналов (1.48) и (1.5);

2) , где -энергии сигналов и  соответственно (без доказательства);

3) при перемене порядка индексации в обозначении ВКФ и со­блюдении формы записи, указанной в выражении (1.71), происхо­дит инверсия графика ВКФ относительно оси ординат = 0:

                                 

Рекомендуется проверить это положение для сигналов из при­мера 2 непосредственно;

4) (как и для КФ).

ВКФ является своеобразной мерой «похожести», соответст­вия, коррелированности двух сигналов при различном их взаим­ном расположении. КФ отражает корреляцию сигнала с собст­венной копией; говорят об автокорреляционных свойствах сигнала. Неравенство , т. е. непременный максимум КФ при  = 0 в этом контексте может трактоваться как свидетельство полной корреляции всякого сигнала с самим собой. Далее, умень­шающиеся (иногда немонотонно) значения   характеризуют меру коррелированности, связи сигнала со своей копией при различных .                                                     

Корреляционная функция сигналов с неограниченной энергией. Определение (1.69) для вычисления КФ таких сигналов, вообще говоря, не используют по отмечавшимся в § 1.9 причинам (энергия сигнала, т. е. В(0) может оказаться бесконечно боль­шой). КФ непрерывного и периодического сигнала определяют так:

                                                                                  (1.72)

усредняя по интервалу времени .

Пример 3. Корреляционная функция гармонического сигнала (1.1):

      

В отличие от КФ и ВКФ финитных сигналов, КФ перио­дического сигнала сама является периодической функцией и имеет размерность мощности. Значения аргумента , для которых В() = 0, определяют временные сдвиги сигнала и его копии, при которых корреляция отсутствует. Значение B(0) периодического сигнала численно равно мощности сигнала; для гармонического сигнала (1.1) .

Замечание 1

Обоснованность требования ограниченности энергии сиг­налов, КФ и ВКФ которых определяются по соотношениям (1.69) и (1.71), становится очевидным после обсуждения кор­реляционных свойств моделей сигналов с бесконечно боль­шой энергией. Следует обратить внимание на то обстоятель­ство, что удовлетворяющие условиям Дирихле (см. § 1.2) фи­нитные сигналы всегда являются сигналами с ограниченной энергией.

Замечание 2

Без доказательства, основываясь на рассмотренных при­мерах, сформулируем еще одно общее характерное свойство КФ и ВКФ: если исходная (КФ) или одна из исходных (ВКФ) функций не содержит -особенностей, то КФ и ВКФ не содержат скачков (разрывов 1-го рода).

СВЕРТКА СИГНАЛОВ

Свертка сигналов  и g(t) определяется интегралом свертки (1.54)

                                         

Интеграл свертки используется в теоретической радиотехнике, в частности, для определения сигнала на выходе четырехполюсника. Существуют различные формы представления интеграла свертки; иногда (в литературе по электро- и радиотехнике) интеграл (1.54) называют также интегралом наложения или интегралом Дюамеля. Техника вычисления этого интеграла аналогична технике вычисления КФ и ВКФ (см. § 1.10). Однако следует обратить внимание на весьма существенное различие: переменная, по которой ведется интегрирование, в сомножители подынтегральной функции инте­грала (1.54) входит с различными, а интеграла (1.69) — с одинаковы­ми знаками.

Технику вычисления интеграла свертки удобнее всего пояснять на конкретных примерах.

Пример 1. Возьмем в качестве сигнала f(t) прямоугольный видео­импульс (1.48), а в качестве сигнала g(t) — финитный сигнал (1.5).

Как следует из выражения (1.54), вычисление интеграла ведется по вспомогательной переменной . Аргумент свертки t выступает в качестве параметра. На рис. 1.16, а (в системе координат «  — сигнал») показано взаимное расположение функций, произведение которых образует подынтегральное выражение в (1.54) при t = 0, в частности, инвертированная относительно оси ординат функция

 здесь , при t=0 имеем

. На рис. 1.16, б показано то же, но для интервала

на рис. 1.16, в — для .

Интегрирование в (1.54) ведется по интервалу, соответствую­щему области существования отличного от нуля произведения . Именно протяженность и расположение этой области в каждом конкретном случае определяет пределы интегрирования в (1.54). В рассматриваемом случае

 при .

 

 при .

Рис. 1.16. Вычисление свертки прямоугольного и треугольного импульсов

Рис. 1.17. Свертка прямо­угольного и треугольного импульсов

Очевидно, что при t>2T и t<0 свертка s(t)  0. График свертки приведен на рис. 1.17. Вычисление свертки ведется по «участкам», что характерно для фи­нитных или кусочно-заданных функций. Если f(t) и g(t) не содержат аддитивно -функций (1.9), то значения свертки в точках соединения (стыках) отдельных участков должны совпадать; в рассматриваемом примере

s(T)= U² Т/2.

Читателю рекомендуется сравнить полученный здесь результат и

результат вычисления ВКФ (см. пример 2 § 1.10). Заменой переменной показывают (это предоставляется читателю сделать самостоятельно), что интеграл (1.54) можно также записать в виде    

                                                                                                    (1.74)

Результаты вычислений по формулам (1.54) и (1.74) совпадают; выбор той или иной формы записи определяется соображениями упрощения вычислений.

Разумеется, можно вычислять свертку не только финитных функций, но и функций, определенных на любых, в том числе бесконечных, интервалах.

Пример 2. В качестве сигнала f(t) вновь возьмем прямоугольный видеоимпульс (1.48), а в качестве сигнала g(t) — экспоненту (1.3).

Рисунок, отражающий взаимное положение функций и в системе координат « сигнал», читателю предлагается выполнить самостоятельно. Интеграл свертки записывается следую­щим образом:

 при .

 

 при .

При t<0 свертка s(t) .

Пример 3. Рассмотрим, наконец, свертку произвольного сигнала  с функцией Дирака . Согласно формулам (1.54) и (1.74) с учетом фильтрующего свойства (1.11) -функции, можем записать

                              .

Пример 3. Рассмотрим, наконец, свертку произвольного сигнала  с функцией Дирака  Согласно формулам (1.54) и (1.74) с учетом фильтрующего свойства (1.11) -функции, можем записать

                            

Сверткой произвольной функции с функцией Дирака является сама произвольная функция.

1.12. КОРРЕЛЯЦИОННО-СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ ДЕТЕРМИНИРОВАННЫХ СИГНАЛОВ

Особенно важным вопросом является связь корреляционных и спектральных характеристик детерминированных сигналов.

Корреляционная функция и энергетический спектр. Поставим в соответствие сигналам   и  спектральные функции  и . Обратимся к определению ВКФ (1.71) и, последовательно воспользовавшись теоремой о спектре сдвинутого во времени сиг­нала (1.47) и теоремой Рэлея (1.56), представим

          

Комплексная в общем случае функция

                                                                                                                     (1.76)

называется взаимным энергетическим спектром сигналов и Но выражение (1.75) является обратным преобразованием Фурье (1.32) с ядром , примененным к взаимному энерге­тическому спектру ; следовательно, существует соответст­вующее прямое преобразование Фурье:

                                                                                                             (1.77)

Соотношения (1.75) — (1.77) являются основой корреляционно-спектрального анализа детерминированных сигналов. В частности, определение (1.75) позволяет глубже осмыслить уже обсуждавшееся понятие ВКФ. В самом деле, при неперекрывающихся (кон­центрирующихся в различных частотных интервалах) спектрах   и   произведение . Следовательно и , т. е. эти сигналы оказываются абсолютно некоррелиро­ванными.

Положив в (1.75) получим соотношения, свя­зывающие КФ сигнала с его энергетическим спектром

, введенным выражением (1.64):

                                ,                                      (1.78)

Замечание

В(), как и , не зависит от фазовой спек­тральной функции сигнала s(t). Но форма сигнала s(t) при за­данной спектральной функции амплитуд существенно

зависит от фазового спектра ; поэтому можно утверждать, что различные по форме, но обладающие одинаковыми ам­плитудными спектрами сигналы имеют одинаковые КФ.