Гармонический анализ периодических сигналов

Для анализа сигналов очень важны методы представления мате­матической модели сигнала в виде разложения ее в функциональ­ный ряд. Функциональные ряды широко используются при реше­нии многих задач физики и математики. Тригонометрический, гар­монический ряд или ряд Фурье занимает среди них особое место. Для радиотехнических приложений важность разложения сигнала по ортогональной гармонической системе функций определяется, в частности, тем, что, во-первых, такое разложение оказывается без­условно применимым как для сигналов, модели которых заданы еди­ным аналитическим выражением, так и для сигналов кусочно-заданных несколькими аналитическими выражениями; во-вторых, характером преобразования, которое претерпевает сигнал (1.1) при прохождении через стационарную линейную (например, RLC) цепь; как известно, выходным сигналом в этом случае является гармо­нический сигнал с той же круговой частотой со₀, отличающийся от входного амплитудой и фазовым сдвигом. Если разложение вход­ного сигнала по ортогональной системе тригонометрических функций известно, то выходной сигнал может быть получен как сумма независимо преобразованных цепью входных гармоник.

Тригонометрическая форма рада Фурье. Будем считать известным [3],

что периодический сигнал (1.6)

определенный на бесконечном интервале , может быть представлен в виде ряда Фурье:

                                                                    (1.16)

где  и Установлено, что раз­ложение (1.16) существует, если r(t) на периоде Т удовлетворяет условиям Дирихле:

• не имеет разрывов 2-го рода (с уходящими в бесконечность ветвями функции);

• имеет конечное число разрывов 1-го рода;

• имеет конечное число экстремумов.

Коэффициенты а_к (включая ) и определяются формулами

                                                                  (1.17)

Иногда удобнее вычислять  не по общему выражению для <% полученному в результате интегрирования, а положив к= 0 не­посредственно в (1.17):

                                                                                                               (1.18)

В радиотехнической практике часто оказывается удобнее иное представление ряда (1.16). Проделав элементарные преобразования:

где

получим представление сигнала  в виде ряда Фурье в вещественной форме:

                                                                                    (1.19)

Часто используется обозначение . Со­вокупность  и коэффициентов   в (1.19) образует амплитуд­ный, а совокупность  — фазовый спектры периодического сигнала .Возможный их вид показан на рис. 1.1, а, б соответственно.

Комплексная форма ряда Фурье. Воспользовавшись формулами Эйлера

ряд (1.16) можно записать в виде:

Введем комплексные амплитуды

                                                                 (1.20)

и «отрицательные» частоты , т. е. включим в об­ласть изменения k значения        к < 0 и запишем (1.16) в виде:

Рис. 1.1. Возможный вид амплитудного (а) и фазового (б) спектров периодического сигнала

Это представление называют комплексной формой ряда Фурье. Если дополнительно ввести обозначение С_о = С_о = а_о/2, ряд Фу­рье в комплексной форме можно записать лаконичнее:

                                                                                                                      (1.21)

Целесообразность введения комплексной формы ряда Фурье обусловлена удобством выполнения математических преобразова­ний и некоторыми другими обстоятельствами.

 Коэффициенты ряда (1.21) С_к образуют дискретный комплекс­ный спектр периодического сигнала s_r (t), определенный на всех частотах , к = 0, ±1, ±2,... вместе с амплитудным   и фазовым =   спектрами. На рис. 1.2 приведен возможный вид ам­плитудного спектра .

Очевидно, что Рассмотрим ряд (1.21) подробнее:

преобразуем, вновь используя формулы Эйлера, сумму

Следовательно,

Сопоставив выражения (1.17) и (1.20), замечаем, что

Рис. 1.2 Амплитудный спектр периодического сигнала при использовании комплексной формы ряда Фурье

                     (1.21)

Формула (1.22) используется для непосредственного вычисления

Замечание 1

Пределы интегрирования в выражениях (1.17) и (1.22) могут быть изменены; существенно лишь то, что интегриро­вать следует по интервалу, равному полному периоду, напри­мер, от —Т/2 до Т/2 или от –Т до 0 и т. д. Это связано с тем, что для периодической с периодом Т функции f(t) значение определенного интеграла

не зависит от . Это соображение иногда оказывается полез­ным при практических вычислениях. Например, рассмат­ривая (1.17) при симметричных пределах интегрирования от —Т/2 до Т/2, легко видеть, что ряд (1.17) будет содержать: в случае четности функции   лишь косинусоидальные члены с коэффициентами ; в случае нечетности функции  лишь синусоидальные члены с коэффициентами  — не­зависимо от того, какие пределы интегрирования будут ре­ально выбраны при вычислении коэффициентов   и  .

Замечание 2

Подчеркнем эквидистантность спектра Фурье: частоты, на которых расположены коэффициенты ряда, образуют экви­дистантную последовательность (... , , 0, , , ,...), непременно содержащую  = 0 и имеющую шаг . Сами же коэффициенты могут принимать любые, в том числе и нулевые, значения.

Замечание 3

При обсуждении вопросов разложения периодического сигнала в ряд Фурье упоминалась ортогональность системы функций, по которой ведется разложение [1].

Напомним определение ортогональности системы функ­ций: бесконечная система в общем случае комплексных функций ортогональна на ин­тервале , если

                                        при  и                                (1.23)

Для рассмотренных представлений гармонического ряда Фурье интервалом ортогональности   является период , а систему функций   образуют комплекс­ные экспоненты или , для которых выполнение соотношений (1.23) легко проверяется непо­средственно.