Дифференцирование сигнала (спектральная функция производной)

Пусть сигналу g(t) соответствует спектральная функция . Бу­дем искать спектральную функцию сигнала s(t) = dg/dt. Воспользу­емся определением производной

и применим преобразование Фурье непосредственно к выражении для предела, принимая во внимание теоремы о сумме сигналов и о сдвиге сигнала во времени:

                                      (1.50)

                         (по правилу Лопиталя).

Говорят, что множитель  есть оператор дифференцирования в частотной области. При дифференцировании происходит относи­тельный подъем амплитудного спектра сигнала в области верхних частот.

Интегрирование сигнала (спектральная функция интеграла). Пусть сигнал представлен в виде интеграла с переменным верхним пре­делом:

Исходя из (1.50), формально запишем

                                                                                                           (1.51)

Соотношение (1.51) справедливо [3] только для сигналов , отвечающих условию

                                                                                                        (1.52)

(сигналы с «нулевой площадью»).

Замечание

В [3] показано, что если условие (1.52) не выполняется, то спектральную функцию сигнала s(t) следует записывать в виде

                                             (1.53)

Множитель  называют оператором интегрирования в частотной области. При интегрировании происходит относитель­ный подъем амплитудного спектра сигнала в области нижних частот.