Нерозривність деформацій

Компоненти лінійних і зсувних деформацій не можуть виникати незалежно один від одного. Для визначення залежності між ними розглянемо перші два рівняння системи (63). Перше з них продиференціюємо двічі по ∂y, друге - двічі по∂x

∂²ε_х/∂у² = ∂³u_x/∂х∂у²,∂²ε_у/∂х² = ∂³u_у/∂у∂х².

Складаємо ці рівняння почленно

∂²ε_х/∂у² + ∂²ε_у/∂х² = ∂³u_x/∂х∂у² + ∂³u_у/∂у∂х² = ∂²/∂х∂у [(∂u_x/∂у + ∂u_у/∂х)]

(Результат диференціювання не залежить від того, в якій послідовності воно проводиться).

Вираз в дужках вказано деформацію зсуву γxy у площині хоу (див. (63)). Розглядаючи попарно інші рівняння системи (63), отримуємо рівняння зв'язку між лінійними і зсувними деформаціями в кожній з координатних площин

∂²ε_х/∂у² + ∂²ε_у/∂х² = ∂² γ_xy /∂х∂у

∂²ε_y/∂z² + ∂²ε_z/∂y² = ∂² γ_yz /∂y∂z (64)

∂²ε_z/∂х² + ∂²ε_x/∂z² = ∂² γ_zx /∂z∂x

З рівнянь (64) випливає, що дві лінійні деформації визначають зрушувальну деформацію у цій площині. За допомогою інших перетворень можна отримати зв'язок між кожною з лінійних деформацій і трьома зрушеннями

(∂²/∂х)(∂γ_zx /∂y + ∂γ_xy /∂z - ∂γ_yz /∂x) = 2∂²ε_х/∂у∂z

(∂²/∂y)(∂γ_xy /∂z + ∂γ_yz /∂x - ∂γ_zx /∂y) = 2∂²ε_y/∂z∂x (65)

(∂²/∂z)(∂γ_yz /∂x + ∂γ_zx /∂y - ∂γ_xy /∂z) = 2∂²ε_z/∂x∂y

Із системи (65) випливає, що три зсувні деформації визначають і всі три лінійні деформації. Рівняння (64) і (65) називають рівняннями нерозривності, або рівняннями спільності. Вони є математичним відображенням умови суцільності тіл, його безперервності до і після деформації. Ці рівняння не є новими, так як отримані перетворенням системи (63) і використовуються або замість рівнянь (63) при вирішенні пластичних задач, або для контролю отриманих рішень.

У рівняннях (64) і (65) можна простежити енергетичний сенс, який полягає в тому, що принцип нерозривності деформації та суцільності тіла відповідає вимозі витрати мінімальної енергії, що витрачається на деформацію. Для порушення суцільності (появи тріщин, поділу тіла на частини) потрібна велика витрата енергії, ніж на формозмінення без руйнування. Принцип мінімуму енергії деформації визначає протягом металу у всіх процесах обробки тиском. Формозміна пластично деформованих тіл відбувається таким чином, що повна енергія (робота) деформації, що витрачається в кожен момент часу, мінімальна для даних умов (форми інструменту, стану поверхонь інструмента, схеми напруженого стану та ін.) У той же час відповідно до постулату Друккеру прирощення роботи пластичної деформації в кожен момент часу має максимальне значення в порівнянні з будь-яким іншим шляхом деформування за умови зміцнення металу в результаті деформації.