Взаємозв'язок компонент напруженого і деформованого стану в об’ємі тіла. Зв'язок зміщень і деформацій

У попередніх розділах розглядалися компоненти напружень і деформацій в елементарному об’ємі, причому вздовж ребер цього об’єму значення напруг і деформацій приймалися постійними. Однак відповідно до принципу локальності самоврівноважених навантажень при переході від одного елементарного об'єму до іншого всі параметри процесу повинні змінюватися (вони знижуються до нуля на границях фізичної зони деформації).

Під дією напруги точки в осередку деформації зміщуються відносно один одного. Кожна точка в результаті пластичної течії проходить певний шлях, який називають зсувом u (Рис.17).

Рис.17. Зміщення точок                         при осадці	Рис.18. Зміна величини зсуву точок вздовж осі х

 

Розмірність зсувів - одиниця довжини (мм). Повне зміщення u можна розкласти на компоненти вздовж координатних осей (відповідно u_x, u_y, u_z). За правилом паралелепіпеда u²= u_x²+u_y²+u_z². Зміщення всіх точок деформівного об’єму є безперервні функції координат (тобто значення зміщень залежать від того, як точка розташована щодо координатних осей).

Для точки В, віддаленої від точки А на деякій відстані уздовж осі х (Рис.17), повне зміщення і його компоненти мають інше значення, ніж у точці А. Розглянемо зміну горизонтального зміщення u_x для точок, що лежать на прямій, паралельній осі х (у=пост., z=пост.). Нехай зміна зсувів u_x вздовж осі х задано якоюсь функцією u_x=φ(х) - Рис.1. Для точки А зсув вздовж осі х становить uxа, тоді для точки В, яка відступає від А вздовж осі х на нескінченно малу відстань dx, зсув u_xв буде відрізнятися від u_xа на нескінченно малу величину Δ.

З трикутника АВС випливає, що приріст Δ дорівнює dx tgα, де α - кут між горизонталлю і дотичною, проведеної в точці А до розглянутої кривої (оскільки розглядаються нескінченно малі величини, кривизною дуги АВ нехтуємо).Тангенс кута нахилу кривої чисельно дорівнює її першій похідній у цій точці.Оскільки зсув є функцією трьох координат, потрібно брати часткову похідну по тій координаті, уздовж якої точка В відстоїть від точки А, tgα=∂u_x/∂х. Отже, приріст зсуву становить Δ=(∂u_x/∂х)dx, а горизонтальне зміщення в точці В u_xв=u_xа(∂u_x/∂х)dx.

Аналогічно можна розрахувати зміну зміщень для інших компонент зміщень за об’ємом тіла. У загальному випадку компоненти зсуву в даній точці можна представити як суму зсуву в попередній точці і збільшення, яке дорівнює добутку часткову похідною зміщення по тій координаті, уздовж якої розташовані розглянуті точки, на відстань між ними. Цим відстанню є повний диференціал з даної координаті. Так, якщо точка В відстоїть від точки А за координатою, то прирощення зсуву становить (∂u_x/∂у)dу.

Часткова похідна характеризує інтенсивність зміни функції на ділянці між розглянутими точками. Якщо функція має екстремум або постійне значення, похідна і приріст функції дорівнюють нулю. Якщо функція зростає, похідна позитивна, якщо убуває - негативна. Аналогічним чином визначаються і зміни напружень при переході від точки до точки.

Взаємні зміщення точок обумовлюють формозмінення тіла. Тому між зміщеннями та деформаціями повинен існувати функціональний зв'язок. Встановимо вид зв'язку з цим. Розглянемо проекцію

 

Рис.19. До висновку зв'язку зміщень і деформацій

 

елементарного об’єму abcd на площину x0z (Рис.19). У результаті деформації об’єм зміщується в нове положення а'в'с'd'. Нехай зміщення точки а вздовж осі х в положення а' становить u_x. Тоді зміщення точки в у в' вздовж тієї ж осі складе u_x(∂u_x/∂_х)dx. Відносна лінійна деформація по осі х ε_х=(А'В''-ав)/ав. Відрізок А'В''знайдемо, віднімаючи u_x з відстані АВ (Рис.18): А'В''=dxu_x(∂ux/∂х)dx-ux= dx (∂ ux / ∂ х) dx. Оскільки ав = dx, маємо

ε_х = [dx u_x (∂ u_x/∂x)dx-u_x-dx]/dx=∂ u_x/∂х.

Аналогічно знайдемо відносну умовну деформацію вздовж осі z

ε_z = [dzu_z(∂u_z/∂z)dz-u_z-dz]/dz=∂u_z/∂z.

Проектуючи елементарний об'єм на площину х0у, аналогічно знайдемо

     ε_у = ∂u_у/ ∂ у.

Визначимо зсувні деформації в елементарному об’єму. Розглянемо кут зсуву α₁ (Рис.19). Внаслідок малості кута візьмемо чисельно близький до нього тангенс цього кута, tgα₁ = b'b''/ a'b''. Для цього визначимо зміщення точки b вздовж осі z. Якщо зсув точки a по цій осі в положення a'становить u_z, то зсув точки b з цієї ж осі в положення b' становить u_z(∂u_z/∂х)dx (диференціювання по координаті z, по якій розглядається взаємне положення точок a і b). Отжеtgα₁=[u_z+(∂u_z/∂х)dx-u_z]/[dx+(∂u_x/∂х)dx]=(∂u_z/∂х)/[1+(∂u_x/∂х)].

Оскільки (∂u_x/∂х) нескінченно мала величина, її значенням у порівнянні з одиницею можна знехтувати, тоді tgα₁=∂u_z/∂х.

Аналогічно для кута α₂ отримаємо

 tgα₂ = d'd''/a'd'' = [u_x + (∂u_x/∂z)dz – u_x]/[dz + (∂u_z/∂z)dz] = (∂u_x/∂z)/[1+ (∂u_z/∂z)] =

= ∂u_x/∂z.

Для малих кутів tgα ≈ α, повний зсув в площині xoz складе

             γ_xz = α₁ + α₂ = ∂u_z/∂х + ∂u_x/∂z.

Розглядаючи проекції елементарного об'єму в двох інших координатних площинах, отримаємо систему рівнянь, що пов'язують між собою зміщення і деформації

(63)

            ε_х = ∂u_x/∂х γ_xy = ∂u_y/∂x + ∂u_x/∂y

            ε_y = ∂u_y/∂y γ_yz = ∂u_z/∂y + ∂u_y/∂z                                      

            ε_z = ∂u_z/∂z γ_zx = ∂u_x/∂z + ∂u_z/∂x

Система (4.1) з шести рівнянь містить 9 невідомих - 6 компонент деформацій і 3 компоненти зміщень і є статично невизначеною (нагадаємо, що вирішити систему, значить знайти залежності деформацій і зсувів від координат x, y, z). Рівняння (4.1) називають геометричними або рівняннями Коши.