Метод балансу робіт (потужностей)

Відповідно до закону збереження енергії робота всіх зовнішніх сил Ав.с дорівнює роботі внутрішніх опорів Ад

                                 А_в.с = А_д .                                                        (136)

Робота зовнішніх сил складається з роботи активних сил Аа, що здійснюють процес, і роботи реактивних (опірні) сил А_r. Роботи активних і реактивних сил протилежні за знаком. Найбільш поширеними реактивними силами є сили тертя, що створюють роботу А_t. Рівняння балансу робіт має вигляд

                                 А_а=А_д  + А_t.                                                      (137)

Питома потенційна енергія пластичної формозміни (робота внутрішніх сил, що припадає на кожний елементарний об'єм) дорівнює добутку тензора напружень на тензор деформацій (см.3.6.2). На відміну від пружного рішення, в якому напруження зростали від нуля, пластичного плину необхідно брати повний добуток, без сомножителя 0,5. Для елементарного об'єму отримаємо в головних осях

            dA_д = T_σT_εdV = (σ₁ε₁ + σ₁₂ε₂ + σ₃ε₃) dV.                     (138)

Підставляючи значення деформацій з узагальненого закону Гука для пластичного плину ε₁=(1/Е ') [σ₁-0,5 (σ₂+σ₃)] і т.д (Е' - модуль пластичності первинній роду, 0,5 - коефіцієнт Пуассона), отримаємо

     dA_д = (1/Е')[σ₁² – 0,5σ₁σ₂ - 0,5σ₁σ₃ + σ₂² – 0,5σ₂σ₃ - 0,5σ₂σ₁ +

                       + σ₃² – 0,5σ₃σ₁ - 0,5σ₃σ₂]dV.

    Враховуючи, що відповідно до узагальненого закона Гука Е'=σ_іε_і, і висловлюючи складові, які стоять у квадратних дужках, як суму квадратів різниць главних напруг, маємо

    dA_д = (0,5 ε_и /σ_и)[(σ₁ – σ₂)²  + (σ₂ – σ₃)² + (σ₃ – σ₁)²] dV.

    Враховуючи, що 0,5[(σ₁ – σ₂)²  + (σ₂ – σ₃)² +(σ₃ – σ₁)²]=σ_и²,

отиримаємо

    dA_д = (ε_и/σ_и) σ_и² dV, звідки

                            A_д = ∫∫∫ε_и σ_и dV.                                                 (139)

    Для пластичної деформації σ_і = σ_т. Беручи значення σ_т постійним для всієї зони деформації, виносимо його значення за знак інтеграла

                                   A_д = σ_т ∫∫∫ε_i dV.                                                  (140)

    Отримана умова (140) для розрахунку роботи внутрішніх опорів.

Визначимо роботу зовнішніх сил. Елементарна робота зовнішніх сил визначиться як сума добутків проекцій зовнішніх сил на відповідний їм зсув (добуток сили на шлях) для кожної елементарної площадки

                  dA_в.с = (Xu_x + Yu_y + Zu_z) dF.                                      (141)

    Тут X, Y, Z – проекції сил, що діє на елементарну площадку, на відповідні координати,

u_x, u_y, u_z - зміщення вздовж цих координат,

dF - площа площадки. Работа зовнішніх сил на всій контактній поверхні

                  A_в.с = (Xu_x + Yu_y + Zu_z) dF.                                   (142)

    Формула (142) розглядає всі зовнішні сили без поділу на активні і реактивні, знак кожного доданка визначається його напрямком щодо позитивного напрямку координатних осей.

Роботу сил тертя визначають за формулою

                            A_t = tu_tdF,                                                    (143)

    Тут t - функція розподілу напружень тертя по контакту,

u_t - зміщення, за якими діють ці напруги,

F - повна площа контакту. Для спрощення функцію t замінюють середнім значенням напружень тертя t_ср, яке виносять за знак інтегралу. У результаті використовують формулу

                            A_t = 2 t_ср u_tdF.                                              (144)

    Коефіцієнт 2 взято тому, що сили тертя діють за двома контактним поверхнями.

Робота активних сил зазвичай визначається найбільш просто, коли повна сила процесу соосна зі зміщенням. Наприклад, при осаді, волочінні робота активної сили визначається за умовою А_а = РΔu, де Р - повна сила процесу, Δu-переміщення інструменту, що забезпечує протікання процесу деформації.

Якщо в рівняннях (142) - (144) деформації замінити швидкостями деформації, а зміщення - швидкостями зміщень, то замість робіт отримаємо відповідні потужності. З їх допомогою можна вирішувати задачу методом балансу потужностей. Таке рішення використовується для тих процесів, в яких інструмент обертається, але не зміщується.

 

Лекція 18

Визначення середнього тиску при осаді циліндра методом балансу робіт

Визначимо тиск, необхідний для осаду циліндричного зразка діаметром d і висотою h (Рис.45). Задача осесиметрична, рішення ведемо в циліндричній системі координат. Приймемо допущення, що деформація однорідна і показники деформації однакові як для всіх елементарних об'ємів, так і для циліндра в цілому, значення межі текучості σ_т по всьому об'єму постійні, напруги тертя t рівні середньому значенню напружень тертя t_ср. Осі ρ, θ і z - головні.

 

Рис.45. Осаджуємо циліндр

і елементарний об'єм в циліндричній

  системі координат

Робота внутрішніх опорів в циліндричній системі координат має вигляд

             A_д = σ_т , где ρdθdzdρ = dV.                (145)

Деформації для всього об’єму по координатним осям

ε_z = - ∆h/h, где ∆h – абсолютне обтиснення зразка, ε_ρ = ε_θ,. З умови сталості об’єму ε_ρ + ε_θ = - ε_z = ∆h/h, ε_ρ = ε_θ = ∆h/2h.

Підставляючи отримані значення компонент деформації у формулу для розрахунку інтенсивності деформації, отримуємо

ε_и = ( /3)[(ε₁ – ε₂)² + (ε₂ – ε₃)² + (ε₃ – ε₁)²]^0,5 =

= ( /3)[(ε_ρ – ε_θ)² + (ε_θ – ε_z)² + (ε_z – ε_ρ)²]^0,5 = ε_z = ∆h/h.

Звідси робота внутрішніх опорів дорівнює (без урахування знака)

А_д = σ_т = σ_т(∆h/h)2πh (r²/2) = σ_т ∆h π r². (a)

Роботу сил тертя визначимо відповідно до (144), враховуючи, що зміщення відбуваються на радіусах, і відповідно напруги тертя спрямовані но радіусах проти плину контактних точок. Робота сил тертя дорівнює

                     A_t = 2t_cp u_ρρdθdρ, ρdθdρ = dF.                          (б)                

На зсувах вздовж осі z робота сил тертя дорівнює нулю, тому що сили тертя ортогональні зсувам.

З геометричних рівнянь зв'язку деформацій і зсувів маємо

ε_ρ = ∂u_ρ/∂ρ, откуда ∂u_ρ = ε_ρ∂ρ. Інтегруя, отримаємо u_ρ = ε_ρρ + С + φ(θ), де С – довільна, φ (θ) - невідома функція від θ. Оскільки всі компоненти по осі θ постійні, φ (θ) = 0. У центрі циліндра при ρ = 0 зсуву немає, в цій точці розташований розділ течії, u_ρ = 0 і С = 0. Остаточно

                                            u_ρ  = (∆h/2h)ρ.

Підставляючи значення uρ в рівняння (б), маємо

     A_t = 2t_cp (∆h/2h)ρ ρdθdρ = 2t_cp(∆h/2h)2π(r³/3) = 2t_cp(∆h/h)π(r³/3). (в)

    Робота активних сил дорівнює добутку повної сили осаду P на пройдений цією силою шлях, який дорівнює абсолютному обтисненню Δh, тобто А_а = РΔh. Підставляючи значення робіт активних сил А_а, сил тертя А_t і роботи внутрішніх опорів в рівняння балансу робіт, отримуємо Р∆h = 2t_cp(∆h/h)π(r³/3) + σ_т ∆h π r², скорочуючи на ∆h Р = σ_т π r²  + 2t_cpπr³/3h.

    Повна сила дорівнює P = р_ср F, где р_ср - середній тиск на контакті, F - площа контакту, F=πr². Отримуємо р_срπr² =σ_т π r²+2t_cpπr³/3h; скорочуючи на πr² та враховуючи, що 2r=d, отримуємо

                            р_ср = σ_т + 2t_cpr/3h.

Якщо величину середньої напруги тертя t_cp виразити як частину межі текучості, тобто прийняти t_cp=f_σσ_т, де f_σ - показник величини середньої напруги тертя як частки межі текучості, то отримаємо

                                   р_ср = σ_т + f_σσ_т 2r/3h.

Остаточно отримуємо формулу для розрахунку середнього тиску при осаді циліндру

                                р_ср  = σ_т(1 + f_σd/3h).                                            (146)

      

Лекція 19

Визначення середнього тиску при осаді смуги методом балансу робіт. Метод верхньої оцінки