Варіаційний метод. Загальні положення

Повна робота завжди мінімальна для даних умов деформації. Найбільш часто вона являє собою суму робіт внутрішніх опорів (роботу деформації Ад) і роботи сил тертя Аt. Для елементарного об'єму робота Аt - це добуток напружень тертя на відповідні їм зміщення за всієї контактної поверхні, робота Ад - це добуток компонент деформацій на компоненти напружень. Компоненти деформацій являють собою перші похідні зсувів за координатами. Таким чином, обидва доданки, і, отже, повна робота є функціями зсувів.

У варіаційної постановці фізична величина (наприклад, робота), що залежить від однієї або декількох інших функцій (наприклад, зсувів), називається функціоналом. Вирішити варіаційну задачу - означає знайти такі значення вихідних функцій, в даному випадку зсувів, які повідомляють функціоналу екстремальне (мінімальне або максимальне) значення. Задача вирішується таким чином. Вибирається сімейство безперервних диференційовних кривих, які не суперечать функціоналу. З цього сімейства необхідно вибрати криву, що забезпечує екстремум функціоналу. Таку функцію називають екстремаллю.

Для знаходження екстремалу обрану функцію безперервно змінюють (варіюють), додаючи до неї іншу довільну функцію, значення якої множать на нескінченно малу величину. Варіація δ - довільна нескінченно мала величина, за допомогою якої змінюється вихідна функція і відповідно значення функціоналу. Як і при аналізі функції на екстремум похідна в точці екстремуму дорівнює нулю, так і у випадку, коли варіація дорівнює нулю, вихідна функція стає екстремаллю. Отже, для знаходження екстремуму функціонала його варіацію необхідно прирівняти нулю.

Варіації роботи зовнішніх сил рівні

δА_в.с = (Xδu_x + Yδu_y + Zδu_z)dF = δ (Xu_x + Yu_y + Zu_z)dF. (153)

Знак варіації можна винести за знак інтеграла, як це робиться і для знака похідної та отримати повну варіацію роботи зовнішніх сил.

Варіація роботи внутрішніх опорів

            δА_д = σ_т δε_idV = σ_тδ ε_idV.                               (154)

Якщо тіло перебуває в рівновазі, то сума робіт всіх зовнішніх і внутрішніх сил дорівнює нулю на будь-якій системі можливих зсувів (принцип можливих зсувів Лагранжа). Такими можливими зсувами є варіації зсувів δu_x, δu_y, δu_z (їх іноді називають віртуальними зміщеннями). Залежно від умов деформації деякі зсуви є жорстко заданими; в цьому випадку вони не варіюються. Саме вибором оптимальних зсувів досягається мінімум роботи деформації в процесах пластичноъ формозміни.

Враховуючи різний знак робіт зовнішніх і внутрішніх сил, маємо

         δ[ (Xu_x + Yu_y + Zu_z)dF - σ_т ε_idV] = 0.                      (154)

Величина, що стоїть у квадратних дужках, являє собою повну роботу деформації. Рівність нулю її варіації відповідає умові її мінімуму. Отже, фізичний зміст рівняння (154) полягає в тому, що дійсна рівновага тіла відрізняється від усіх можливих тим, що повідомляє повній роботі (енергії) деформації мінімальне значення.

Рівняння (154) можна використовувати в дещо іншому вигляді, замінюючи напругу плинності σ_т опором зрушення k, а інтенсивність деформації ε_і - інтенсивністю деформації зсуву γ_і, так як γ_и , так як σ_тε_и =kγ_и :

δ[ (Xu_x + Yu_y + Zu_z)dF - k  γ_и dV] = 0.                               (155)

Вирішити рівняння (154) або (155) - означає знайти таку залежність зміщень від координат, яка забезпечить мінімум повної енергії деформації (екстремали).

Можливе рішення варіаційного рівняння і в залежності від варіації напруг. Можна уявити функції всіх компонент напружень як суму істинних напружень та їх варіацій і перетворити рівняння (154) до виду, що відображає принцип мінімуму додаткової роботи деформації (принцип Кастельяно)

δ[ (Xu_x + Yu_y + Zu_z)dF - (1/E)  σ_и dV] = 0.                         (156)

Рішення рівняння (156) означає знаходження такого напруженого стану, якому відповідає умова нерозривності деформації (див. розділ 3.4.2).

Якщо в наведених у даному розділі формулах замінити зміщення швидкостями зміщень, а деформації - швидкостями деформації, то рішення буде виражено через потужність пластичної деформації.