Визначення середнього тиску при осаді смуги методом балансу робіт

Визначимо тиск при осаді смуги в умовах плоского деформованого стану (Рис.45). Приймемо ті ж припущення, що і в попередньому параграфі - деформація однорідна, однакова для всіх елементарних об’ємів і для тіла в цілому, значення межі текучості σ_т по всьому об'єму постійні, а напруги тертя t рівні середньому значенню напружень тертя t_ср. Задачу вирішуємо в прямокутній системі координат. Оскільки деформація прийнята однорідною, прийнята система координат - головна (зсувні деформації по осях відсутні).

Рис.45. Схема осаду смуги

Деформації уздовж осей складають: ε_z=-Δh/h, де Δh - абсолютне обтиснення, ε_y=0, ε_x=-ε_z=Δh/h. Отже, ε_x=ε₁, ε_z=ε₃. Знайдемо інтенсивність деформації

ε_и = ( /3)[(ε₁ – ε₂)² + (ε₂ – ε₃)² + (ε₃ – ε₁)²]^0,5 =

= ( /3)[(ε_x – 0)² + (0 – (-ε_x))² + (-ε_x – ε_x)²]^0,5 = ( /3) ε_x =

= (2/ ) ε_x = (2/ ) ∆h/h.

Знайдемо роботу внутрішніх опорів відповідно до формули (140); попередньо винесемо за знак потрійного інтеграла постійний множник (2/ ) і висловимо елементарний об'єм dV = dzdydx

А_д = 4(2/ )σ_т (∆h/h) dzdydx.

Коефіцієнт 4 взято тому, що для прийнятих меж інтегрування потрійний інтеграл визначає роботу деформації однієї (правої верхньої) чверті осередку деформації. Співмножник (2/ ) чисельно дорівнює коефіцієнту Лодьє β. Після інтегрування і перетворень отримаємо

                        А_д = βσ_т (∆h/h)h l b = βσ_т ∆h l b.                (a)                  

    Знайдемо роботу сил тертя, використовуючи формулу (144). У випадку плоскої деформації точки уздовж контакту зміщуються тільки по осі х, по осі у деформація. Тому напруги тертя здійснюють роботу тільки на зсувах u_x, тобто для правої верхньої чверті

                              A_t = t_cp u_xdF.                                (б)

    З геометричних рівнянь зв'язку деформацій і зсувів маємо ε_x=∂u_x/∂x, звідки ∂u_x=ε_x∂x. Інтегруючи, отримуємо

                              u_x = ε_xx + С,

Невідома функція по у відсутня, так як по осі у зсувів немає. У центрі смуги при х = 0 також зсувів немає і довільна постійна С=0. Остаточно отримуємо

                            u_x = (∆h/h)x.                                                   (в)

Підставляючи в рівняння (б) значення u_x і dF = dxdy, і примножуючи на 4 так як інтеграл враховує тільки одну чверть поверхні контакту, маємо

    A_t = 4t_cp (∆h/h)x dxdy = 4t_cp(∆h/h)(b²/8)l, остаточно

                                 A_t = t_cp(∆h/2h)b²l.                                               (г)

    Робота активних сил

                                 А_а = Р∆h,                                                            (д)

    Р=р_срF=р_срbl, де Р - сила осаду, р_ср – середній тиск, bl –площа контакту. Составимо рівняння балансу робіт

    р_срbl∆h = βσ_т ∆h l b + t_cp(∆h/h)b²l, чи, скрочуючи на bl∆h

                            р_ср = βσ_т + t_cp b/2h.

    Приймаючи, як і раніше, t_cp=f_σβσ_т, отримуємо формулу для розрахунку середнього тиску при осаді смуги великої довжини

                  р_ср = βσ_т(1 + f_σ b/2h).                                                 (147)

        

Лекція 20

Метод верхньої оцінки

Вище було зазначено, що вирішення завдань в умовах рівноваги сил, але без дотримання кінематики процесу, призводять до занижених оцінок тиску. Навпаки, задача, в яких вірно задана кінематика, але не дотримані умови рівноваги, призводять до завищених результатів при визначенні тиску (дають «верхню оцінку»). Оскільки розбіжність між фактичними і розрахунковими значеннями тисків невідомо, краще мати верхню (завищену) оцінку тиску, так як вона забезпечує певний «запас міцності» подальших розрахунків. Розглянемо метод визначення верхньої оцінки тисків.

Суть методу полягає в тому, що задається кінематично можлива схема деформацій без урахування рівноваги сил. Обсяг осередку деформації розбивають на ряд умовно жорстких блоків у вигляді прямолінійних трикутників. При поділі зони деформації на блоки може використовуватися сітка ліній ковзання. Передбачається, що блоки ковзають один по одному і на кордонах з жорсткою зоною і з інструментом. Усередині блоків поле швидкостей однорідне, всі точки даного блоку рухаються з однаковими швидкостями. По межах блоків швидкості зазнають розриви. На підставі цих припущень будують поле швидкостей, яке є кінематично можливим. Число і розміри блоків вибирають довільно. Для розрахунку потужностей необхідно побудувати поле швидкостей по всіх границях (годограф швидкостей).

Значення дотичних напружень по межах блоків беруть максимально можливими, рівними k, на контактних поверхнях дотичні напруги вибирають за умовами тертя. На вільних поверхнях дотичні напруження відсутні.

Для визначення тисків на контакті складають баланс потужностей. У кожний момент часу потужність внутрішніх опорів дорівнює сумі потужностей кожного кордона з ковзанням

                                 N_д = Στ_{i i}l_iL.                                         (148)

Тут τ_i - дотичні напруги на межах блоків, - швидкості ковзання уздовж їх кордонів, l_i - довжина кордонів, за якими йде ковзання, L - довжина проекції контакту вздовж осі у, L = пост. При лінійному контакті проекція чисельно дорівнює довжині кордону.

 Потужність зовнішньої активної сили Р

                                           N_в.с = P _a,                                     (149)

де _a – швидкість руху інструменту, на поверхні якого діє активна сила Р.

З рівняння балансу потужностей, прирівнюючи (148) і (149), висловлюємо величину активної сили

              Р = р_ср аL = Στ_{i i}l_iL/ _a.

Тут а - довжина площадки контакту (або її проекція на горизонтальну площину). Скорочуючи на L і висловлюючи середній тиск на контакті, отримаємо

                   р_ср = Στ_{i i}l_i/а _a.                                                    (150)

В якості прикладу розглянемо задачу про впровадження пуансона в півпростір. Використовуємо сітку ліній ковзання за рис.40. Замінимо відрізки дуг, що обмежують різні поля ліній ковзання, прямими. Внаслідок симетрії процесу розглянемо праву половину сітки (Рис. 46,а). Кожен блок позначаємо цифрами 1, 2, 3; вільний простір - 4, пуансон - 5. Жорстку область позначимо цифрою 0. Межі між блоками і їх довжини позначимо двома цифрами, відповідними номерами межують елементи, наприклад, 12 - межа блоків 1 і 2, 34 - вільна поверхня, 20 - межа блоку 2 з жорсткою зоною тощо. Усі межі з областю 0 - жорсткопластичні

Рис.46. Схема зони деформації (а)

і годограф швидкостей (б) при вдавлюванні

   пунсони в півпростір

Компоненти швидкостей блоків, нормальні до жорсткопластичних кордонів (до ліній 10, 20, 30), рівні нулю і блоки рухаються уздовж цих кордонів. Уздовж кордонів 12 і 23 відбувається розрив швидкостей.

Побудуємо годограф швидкостей. Для цього виберемо довільну точку 0 в якості центру годографа і від нього по вертикалі відкладаємо вниз вектор 05 швидкості пуансона _a (Рис.46,б). Отримуємо точку 5, що характеризує рух пуансона. Довжину вектора 05 приймемо рівним одиниці. Далі з точки 5 відкладаємо лінію, паралельну лінії 15, а з точки 0 - лінію, паралельну 10. Ці лінії визначають рух блоку 1 - вправо вниз. На їх перетині знаходимо точку 1. Вектор 1 відповідає в обраному масштабі швидкості блоку 1. Вільна поверхня зміщується щодо пуансона вертикально вгору, її швидкість дорівнює і протнаправлена швидкості пунсону. Відкладаємо з центру 0 вертикально вгору вектор, рівний _a отримуємо точку 4. Блок 3 щодо пуансона зміщується вправо вгору за межою 03 паралельно лінії 34. З центру проводимо лінію, паралельну 03, а з точки 4 - горизонталь (паралельно 34). На перетині цих ліній знаходимо точку 3. Блок 2 йде уздовж жорсткої зони за лінією 02. Проводячи горизонталь з центру вправо, а з точок 1 і 3 лінії паралельно 32 і 12 відповідно, на їх перетині отримуємо точку 2. Лінії 43 і 51 визначають швидкості вздовж однойменних кордонів.

Запишемо в загальному вигляді розгорнуте рівняння балансу робіт, виражене щодо середнього тиску

р_ср = (l_{01 01} + l_{02 02} + l_{03 03} + l_{12 12} + l_{23 23})τ_i.                        (151)

Висловимо значення l_i через відоме значення ширини пуансона а (див. Рис.46,а). Нехай гострі кути рівнобічних трикутників рівні α. Як видно з Рис.46, а, l₀₁ = l₁₂ = l₂₃ = l₀₃ = а/4cosα.; l₀₂ = a/2. 

Швидкості деформації висловимо через відоме значення швидкості опускання бойка _а із годографа швидкостей (Рис.46,б). Маємо ₀₁ = ₁₂ = ₂₃ = ₀₃ = _а/sinα; ₀₂ = 2 _а/cosα..

Дотичні напруги по всіх кордонах приймемо рівними k.

Підставляючи отримані значення в рівняння (151), після перетворень маємо (для повної ширини контакту, яка в 2 рази більше)

                р_ср  = (2k/sinα)(1/cosα + cosα).                                 (152)

При побудові сітки ліній ковзання було прийнято α = 45°.

Sin45°= 1/ , cos 45° = /2. Підставляя ці значення до рівняння (7.50), отримаємо р_ср =2kх3. Досліджуючи функцію (152) на екстремум, отримаємо, що мінімальне значення тисків Р_СР=2кх2,83 відповідає значенню α = 55°. Це значення Р_СР також завищено, але воно ближче до фактичного, так як менше попереднього.

В інших, більш складних випадках, коли сітку ліній ковзання встановити важко, можна використовувати графічні рішення. Зону деформації розбивають на ряд блоків, а довжину кордонів і швидкості по межах визначають прямим вимірюванням відрізків. Бажано розглянути кілька варіантів рішення і вибрати той, який дає найменше значення тисків.

                                                                    

 

Лекція 21

Варіаційний метод. Загальні положення. Прямі методи рішення варіаційних завдань. Метод Рітца. Визначення зміщень і деформацій при осіданні з використанням прямого методу Рітца