Прямі методи рішення варіаційних задач. Метод Рітца

Суворе розвязання рівнянь (154), (155), (156) вельми складне. На практиці використовують пробліженние методи рішення варіаційних задач. Так звані прямі методи зводять варіаційні рівняння до замкнутих систем алгебраїчних рівнянь. Одним з прямих методів є метод Рітца.

Шукану функцію зсувів представляють у вигляді ряду, наприклад

u_x = a₁φ₁(x, y, z) + a₂φ₂(x, y, z) + …                                             (157)

де φ₁(x, y, z), φ₂(x, y, z) і т.д. – довільно вибрані («координатні» за Рітцем) функції, що відповідають умовам задачи, коефіцієнти а₁, а₂, і т.д. - Чисельні коефіцієнти (варійовані параметри), що визначаються з рішення. Для полегшення вирішення запропоновано в якості координатних вибирати «підходящі» функції, відносно легко диференціюються і інтегруються, що містять не більше 1... 2 доданків і хоча б приблизно відповідні фактичним зсувам. Після вибору відповідних функцій визначають їх перші похідні за координатами (тобто компоненти деформації) і висловлюють повну енергію деформації у функції варійованих параметрів а₁, а₂,... Необхідно знайти такі значення параметрів, які звернуть функцію (157) в екстремали.

Рішення зводиться до диференціювання повної енергії по черзі за параметрами а₁, а₂ і т.д., прирівнювання нулю отриманих часткових похідних і визначенню варійованих параметрів а₁, а₂... з отриманої системи рівнянь

∂/∂а₁[ (Xu_x + Yu_y + Zu_z)dF - σ_т ε_idV] = 0,

∂/∂а₂[ (Xu_x + Yu_y + Zu_z)dF - σ_т ε_idV] = 0 и т.д.

Система містить стільки рівнянь, скільки варійованих параметрів входить в рівняння (154) або (155). Після інтегрування і диференціювання знаходять варійовані параметри. Підставивши їх у рівняння (157), знаходять залежність зміщень від координат. Це дозволяє розрахувати форму тіла після деформації. Взявши перші похідні зсувів, знайдемо поле деформацій. Надалі можна визначити і напружений стан тіла, використовуючи узагальнений закон Гука.