2020-04-20
442
1). Свойство вписанного четырехугольника: сумма противоположенных углов равна 180°. В окружность можно вписать: квадрат (R равен половине диагонали), прямоугольник (R равен половине диагонали), равнобедренную трапецию и правильный шестиугольник (R равен стороне)
2). Свойство описанного четырехугольника: суммы противоположенных сторон равны.
Около окружности можно описать квадрат (r равен половине стороны), ромб
(r равен половине высоты) и правильный шестиугольник.
=180º 
3). Квадрат Правильный шестиугольник
Правильные многоугольники
Сумма углов выпуклого n- угольника равна 
180 
,
где 
– количество сторон многоугольника.
Правильный многоугольник – многоугольник, у которого равны все стороны и углы.
|
|
|
Угол правильного n- угольника равен 
,
где – количество сторон многоугольника.
5. Опорные задачи.
1). Свойство ромба с углом 60°:
если в ромбе один из углов равен 60°, то у него меньшая диагональ равна стороне.
Если 
, то АC = AB.
2). Дополнительные свойства диагоналей параллелограмма:
а) сумма квадратов диагоналей в параллелограмме равна сумме квадратов всех его сторон
б) при проведении диагоналей в параллелограмме площади полученных треугольников равны
B C
C 
O
A D
3). Свойство углов в четырехугольнике: сумма углов в четырехугольнике равна 360°.
4). Свойства биссектрис в параллелограмме:
а) биссектриса угла в параллелограмме (в прямоугольнике или трапеции) отсекает равнобедренный треугольник.
если АК – биссектриса угла А (
),
то AB = BK
б). в параллелограмме биссектрисы смежных углов перпендикулярны,в трапеции биссектрисы углов, прилежащих к боковым сторонам перпендикулярны
Если AP и DP –биссектрисы углов, то 
5). Свойства треугольников, образованных при пересечении диагоналей в трапеции:
a) Δ AOD 
Δ BOC
б) 
и 
6). Свойство отрезка, соединяющего середины диагоналей трапеции:
|
|
|
середины диагоналей трапеции лежат на средней линии, а отрезок, соединяющий эти точки равен полу разности основании.
если P и K – середины диагоналей, то 
7). Свойство равнобедренной трапеции: 
8). Свойство равнобедренной трапеции со взаимно перпендикулярными диагоналями: в равнобедренной трапеции с перпендикулярными диагоналями высота равна средней линии.
если AB = CD и BD 
AC,
то MN = PH
5. Площадь любого многоугольника
Площадь любого многоугольника можно найти без применения формул
Надо вписать фигуру в прямоугольник, посчитать общую площадь прямоугольника по клеточкам, посчитать площадь прямоугольных треугольников, которые дополняют фигуру до прямоугольника и вычесть из площади прямоугольника площади всех треугольников.
| 1 | |||||||||
| 2 | |||||||||
| 3 | |||||||||
Тема 1.5. Окружность
1. Центральные и вписанные углы.
1). Свойства центральных и вписанных углов:
центральный угол равен дуге, на которую он опирается вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается
2). Свойство углов, опирающихся на одну дугу: углы, опирающиеся на одну дугу равны.
3). свойство вписанного угла, опирающегося на диаметр:
угол, опирающийся на диаметр – прямой.
если АВ – диаметр, то 
если , то АВ – диаметр.
2. Длина окружности и площадь круга и его частей
круг сектор кольцо
c =2 π r (длина окружности) l = 
(длина дуги) 
S =π 
(площадь круга) S = 
(площадь сектора)
3. Касательная к окружности.
1). Свойство касательной к окружности: касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведенному в точку касания
2). Свойство касательных, проведенных к окружности из одной точки:
отрезки касательных, проведенные из одной точки, равны и
составляют равные углы с отрезком, соединяющим эту точку с
центром окружности
3). Свойство касательной и хорды, проведенных из одной точки:
угол между касательной и хордой равен половине дуги,
заключенной между ними.
5. Опорные задачи.
1 ). Свойства пересекающихся хорд: произведение отрезков хорд равны.
2 ). Свойство диаметра и хорды: диаметр окружности,
|
|
|
перпендикулярный к хорде, делит эту хорду пополам,
3). Свойство перпендикуляра, проведенного к диаметру:
перпендикуляр, проведенный из любой точки окружности к
диаметру, есть среднее пропорциональное между отрезками,
на которые перпендикуляр делит диаметр.
если 
, то 
6). Свойство секущих, проведенных из одной точки к окружности
7). Свойство секущей и касательной, проведенных из одной точки
к окружности
8). Длина хорды и площадь сегмента и сектора:
Сегмент – часть круга, ограниченная хордой и дугой окружности
Сектор – часть круга, ограниченная двумя радиусами и дугой окружности
9). Связь длины хорды и расстояния ее от центра окружности:
хорда большей длины расположена ближе к центру.
