2020-04-20
114
7. Вычисляются доверительные границы случайной погрешности результата измерений
, (3.9)
где t – коэффициент Стьюдента, зависящий от принятой доверительной вероятности Pд и числа наблюдений n. Значения коэффициента Стьюдента приведены в табл. 3.2. Для расчёта доверительных границ случайной погрешности результата формулой (3.9) можно пользоваться только в том случае, когда известно, что результаты измерений подчиняются нормальному закону распределения.
Таблица 3.1. Критические значения Gт для критерия Граббса
| n | Одно наибольшее или одно наименьшее значение при уровне значимости q | |
| Свыше 1 % | Свыше 5 % | |
| 3 | 1,155 | 1,155 |
| 4 | 1,496 | 1,481 |
| 5 | 1,764 | 1,715 |
| 6 | 1,973 | 1,887 |
| 7 | 2,139 | 2,020 |
| 8 | 2,274 | 2,126 |
| 9 | 2,387 | 2,215 |
| 10 | 2,482 | 2,290 |
| 11 | 2,564 | 2,355 |
| 12 | 2,636 | 2,412 |
| 13 | 2,699 | 2,462 |
| 14 | 2,755 | 2,507 |
| 15 | 2,806 | 2,549 |
| 16 | 2,852 | 2,585 |
| 17 | 2,894 | 2,620 |
| 18 | 2,932 | 2,651 |
| 19 | 2,968 | 2,681 |
| 20 | 3,001 | 2,709 |
| 21 | 3,031 | 2,733 |
| 22 | 3,060 | 2,758 |
| 23 | 3,087 | 2,781 |
| 24 | 3,112 | 2,802 |
| 25 | 3,135 | 2,822 |
| 26 | 3,157 | 2,841 |
| 27 | 3,178 | 2,859 |
| 28 | 3,199 | 2,876 |
| 29 | 3,218 | 2,893 |
| 30 | 3,236 | 2,908 |
| 31 | 3,253 | 2,924 |
| 32 | 3,270 | 2,938 |
| 33 | 3,286 | 2,952 |
| 34 | 3,301 | 2,965 |
| 36 | 3,330 | 2,991 |
| 38 | 3,356 | 3,014 |
| 40 | 3,381 | 3,036 |
Таблица 3.2. Значения коэффициентов t для случайной величины Y, имеющей распределение Стьюдента с n – 1 степенями свободы
|
|
|
| n – 1 | Pд = 0,95 | Pд = 0,99 |
| 3 | 3,182 | 5,841 |
| 4 | 2,776 | 4,604 |
| 5 | 2,571 | 4,032 |
| 6 | 2,447 | 3,707 |
| 7 | 2,365 | 3,499 |
| 8 | 2,306 | 3,355 |
| 9 | 2,262 | 3,250 |
| 10 | 2,228 | 3,169 |
| 11 | 2,201 | 3,106 |
| 12 | 2,179 | 3,055 |
| 13 | 2,160 | 3,012 |
| 14 | 2,145 | 2,977 |
| 15 | 2,131 | 2,947 |
| 16 | 2,120 | 2,921 |
| 17 | 2,110 | 2,898 |
| 18 | 2,101 | 2,878 |
| 19 | 2,093 | 2,861 |
| 20 | 2,086 | 2,845 |
| 21 | 2,080 | 2,831 |
| 22 | 2,074 | 2,819 |
| 23 | 2,069 | 2,807 |
| 24 | 2,064 | 2,797 |
| 25 | 2,060 | 2,787 |
| 26 | 2,056 | 2,779 |
| 27 | 2,052 | 2,771 |
| 28 | 2,048 | 2,763 |
| 29 | 2,045 | 2,756 |
| 30 | 2,042 | 2,750 |
| 32 | 2,037 | 2,738 |
| 34 | 2,032 | 2,728 |
| 36 | 2,028 | 2,719 |
| 38 | 2,024 | 2,712 |
| 40 | 2,021 | 2,704 |
| 45 | 2,014 | 2,690 |
| 50 | 2,009 | 2,678 |
| 55 | 2,004 | 2,668 |
| 60 | 2,000 | 2,660 |
| ¥ | 1,960 | 2,576 |
8. Вычисляются доверительные границы неисключённой систематической погрешности (НСП) результата.
В качестве составляющих НСП могут быть приняты погрешности:
- метода;
- средств измерений;
- вызванные другими источниками.
В качестве границ составляющих НСП принимают, например, пределы допускаемых основных и дополнительных погрешностей средств измерений, если случайные составляющие погрешности пренебрежимо малы.
Границу НСП результата измерений 
при наличии менее трёх
(m < 3) составляющих НСП, каждая из которых представлена своими границами qi, оценивают по выражению
. (3.10)
При числе составляющих НСП m ³ 3 распределение внутри границ этих составляющих рассматривают как распределение случайных величин. При отсутствии данных о виде распределения случайных величин их законы распределения принимают равномерными. Доверительные границы НСП qS (P) результата измерения в этом случае вычисляюn путём построения композиции НСП. При равномерном распределении составляющих НСП доверительные границы qS (P) допускается вычислять по формуле
|
|
|
, (3.11)
где qi – доверительная граница i -й составляющей НСП;
m – количество составляющих НСП;
k – коэффициент, определяемый принятой доверительной вероятностью, числом составляющих НСП и их соотношением между собой.
При доверительной вероятности Pд = 0,95 коэффициент k пренебрежимо мало зависит от числа составляющих НСП и их соотношения, поэтому принимается равным 1,1.
При доверительной вероятности Pд = 0,99 коэффициент k принимают равным 1,4, если число составляющих НСП m > 4. Если же число составляющих НСП m £ 4, коэффициент k определяют по графику зависимости k = f(m, l) (рис. 3.1), где 
; q1 – наибольшая по числовому значению составляющая НСП; q2 – ближайшая к q1 по величине составляющая.
Рис. 3.1. Зависимость k = f(m, l)
На рис 3.1 кривая 1 соответствует m = 2, кривая 2 – m = 3, кривая 3 – m =4.
Если НСП появляется в результате исключения систематической погрешности от воздействия влияющей величины Y на измеряемую величину X, то при исключении систематической погрешности, возникающей из-за изменения этой влияющей величины, необходимо определить зависимость измеряемой величины от влияющей величины (например, X = f(Y)). В этом случае при вычислении границ НСП оценки измеряемой величины необходимо учитывать коэффициент влияния 
, получаемый при разложении функции влияния в ряд Тейлора.
При наличии одной НСП, представленной границами, и второй НСП, представленной коэффициентом влияния, формула (3.10) будет иметь вид
. (3.12)
При суммировании не более 3 составляющих НСП (m £ 3), полученных от воздействия влияющих величин и отсутствии составляющих НСП, возникающих при непосредственном влиянии систематической погрешности на измеряемую величину, формула (3.10) будет иметь вид
. (3.13)
При наличии числа m составляющих НСП, представленных границами, и m – m составляющих НСП, полученных от воздействия влияющих величин и представленных коэффициентами влияния, формула (3.11) будет иметь вид
. (3.14)
Доверительную вероятность для вычисления границ НСП принимают такой же, что и при вычислении доверительных границ случайной погрешности результата.
9. Вычисляются доверительные границы суммарной погрешности результата измерений. Если доверительные границы случайной погрешности результата определены по формуле (3.9), то доверительные границы суммарной погрешности D (без учёта знака) вычисляют по формуле
, (3.15)
где K – коэффициент, зависящий от соотношения случайной составляющей погрешности и НСП:
, (3.16)
если границы НСП определялись по формулам (3.10), (3.12) или (3.13), и
, (3.17)
если границы НСП определялись по формулам (3.11) или (3.14);
SS – суммарное среднеквадратическое отклонение результата измерений:
; (3.18)
Sq – среднеквадратическое отклонение НСП:
, (3.19)
если границы НСП определялись по формулам (3.10), (3.12) или (3.13), и
, (3.20)
если границы НСП определялись по формулам (3.11) или (3.14);
k – коэффициент, принимаемый таким же, как в формулах (3.11) или (3.14).
Результаты измерений представляют в виде
; Pд. (3.21)
При отсутствии данных о законах распределения погрешностей результата и необходимости дальнейшей обработки или анализа погрешностей, результат представляют в форме
|
|
|
; 
; n; q. (3.22)
Пример
При измерении размера партии однотипных деталей получены следующие значения: 19,9; 19,8; 20,1; 20,0; 19,8; 20,1; 21,1; 19,9; 19,8 мм. Записать результат измерения. Систематической составляющей погрешности можно пренебречь, случайная составляющая распределена по нормальному закону. Требуется записать результат измерения размера детали.
Среднее арифметическое наблюдений
Оценка СКО наблюдений
Выполняется проверка наличия грубых погрешностей по критерию Граббса:
lmin = 19,8 см; lmax = 21,1;
; 
.
GT(9;0,05) = 2,215, следовательно, результат lmax = 21,1 является грубой погрешностью, и должен быть исключен из рассмотрения.
Среднее арифметическое наблюдений без учёта промаха
см.
Оценка СКО наблюдений без учёта промаха
Выполняется проверка наличия грубых погрешностей по критерию Граббса:
lmin = 19,8 см; lmax = 20,1;
; 
.
GT(8;0,05) = 2,126, следовательно, грубые погрешности отсутствуют.
СКО результата
см.
Поскольку n < 15, принадлежность результатов нормальному распределению не проверяют; гипотеза о подчинении результатов нормальному закону распределения принимается по условию задачи.
Доверительные границы случайной погрешности результата
см.
Поскольку по условию задачи систематическая погрешность полностью исключена, J = 0, в качестве доверительных границ результата принимаются доверительные границы случайной погрешности
D = e =0,1072 см.
Результат измерения:
l = (19,92 ± 0,11) см; 0,95.
3.3. Обработка результатов прямых однократных измерений
Поскольку выполнение измерений с многократными наблюдениями требует существенных затрат как финансов, так и времени, то большинство измерений, выполняемых в условиях реального производства, являются однократными. При однократных измерениях закон распределения случайных погрешностей является неизвестным, однако в соответствии с рекомендациями Р 50.2.038–2004 «Государственная система обеспечения единства измерений. Измерения прямые однократные. Оценивание погрешностей и неопределённостей результата измерений», предполагается, что распределение случайных погрешностей измерения не противоречит нормальному закону. При этом предварительно все известные систематические погрешности должны быть исключены путём введения поправок в результат измерения. Например, инструментальная систематическая погрешность может быть исключена по результатам поверки средства измерений, методические погрешности исключаются путём анализа метода измерений и т. п. После исключения всех систематических погрешностей их неисключённые остатки, заданные своими границами, считают случайными и подчиняющимися равномерному закону распределения. В качестве границ НСП, например, можно принять пределы основных и дополнительных погрешностей средств измерения, применявшихся при поверке.
|
|
|
Обработка результатов прямых однократных измерений выполняется в следующей последовательности:
1. Исключаются все известные систематические погрешности.
2. Вычисляются доверительные границы случайной погрешности результата.
Если случайная погрешность имеет несколько составляющих, заданных своими СКО, то СКО случайной погрешности результата определяется по формуле
, (3.23)
где si – СКО i -й составляющей случайной погрешности результата;
m – количество составляющих случайных погрешностей.
Доверительные границы случайной погрешности результата в этом случае вычисляют по формуле
, (3.24)
где 
– точка нормированной функции Лапласа, соответствующая вероятности P. При доверительной вероятности P = 0,95 принимают 
, а при P = 0,99 
.
Если случайная погрешность имеет несколько составляющих, заданных своими доверительными границами ei (P), определёнными для одной и той же доверительной вероятности P, то доверительные границы случайной погрешности результата определяют по формуле
. (3.25)
Если же доверительные границы составляющих случайной погрешности результата определены для различных доверительных вероятностей Pi, то вначале рассчитывается СКО случайной погрешности результата:
, (3.26)
а затем вычисляются доверительные границы случайной погрешности результата по формуле (3.24).
3. Вычисляются границы НСП результата.
Если НСП результата однократного измерения содержит только одну составляющую, заданную своими границами ± q, то в качестве границ НСП результата принимаются границы этой составляющей:
. (3.27)
Если же НСП результата включает в себя несколько составляющих, заданных своими границами, то границы НСП результата
, (3.28)
где qi – границы i -й составляющей НСП результата;
m – количество составляющих НСП;
k – коэффициент, зависящий от принятой доверительной вероятности P и числа компонент НСП m.
При доверительной вероятности P = 0,95 коэффициент k принимают равным 1,1.
При доверительной вероятности P = 0,99 коэффициент k принимают равным 1,45, если количество составляющих НСП больше четырёх. При количестве составляющих НСП, равном четырем, коэффициент k принимают приближённо равным 1,4; при m = 3 k» 1,3; при m = 2 k» 1,2. Более точное значение коэффициента k при количестве составляющих НСП результата однократного измерения, не превышающем четырёх, можно найти так же, как и при многократных измерениях (рис. 3.1).
4. Сравниваются случайная и неисключённая систематическая погрешность результата и вычисляются доверительные границы погрешности результата измерения.
Если выполняется условие 
, то НСП пренебрегают и в качестве доверительных границ результата измерения принимают доверительные границы случайной погрешности:
. (3.29)
Если выполняется условие 
, то пренебрегают случайной погрешностью и в качестве доверительных границ погрешности результата принимают доверительные границы НСП:
. (3.30)
Если же 
, то учитываются и НСП, и случайная составляющая погрешности. В этом случае доверительные границы погрешности результата определяются по выражению
, (3.31)
где K – коэффициент, для доверительной вероятности P = 0,95 принимаемый равным 0,76, а для P = 0,99 K = 0,83.
Результат однократного измерения записывается в виде
Xиспр ±D(P); P.
Пример
Напряжение на участке цепи измеряется вольтметром класса точности 0,25 с пределом измерения Umax = 250 В. Методическая погрешность от подключения вольтметра к цепи D м = –0,5 В. СКО случайной погрешности измерения s = 0,3 В. Показания вольтметра Uизм = 150 В. Записать результат измерения при доверительной вероятности P = 0,95.
Исправленный результат измерения:
Uиспр = Uизм – D м = 150 – (–0,5) = 150,5 В.
Поскольку случайная погрешность измерения имеет одну составляющую, то SX = s. Доверительные границы случайной погрешности:
В.
В качестве границ НСП примем предельную инструментальную погрешность вольтметра Dи. Поскольку предел допускаемой погрешности вольтметра задан в приведённой форме (класс точности записан в виде числа без дополнительных знаков), то
В.
Сравним НСП и случайную погрешность:
.
,
следовательно, необходимо учитывать и случайную, и неисключённую систематическую составляющие погрешности. Доверительные границы погрешности результата
В.
Результат измерения
U = (150,5 ± 0,9) В; 0,95.
3.4. Обработка результатов косвенных измерений
При косвенных измерениях искомое значение физической величины X определяют на основании известной зависимости между этой величиной (называемой функцией косвенного измерения) и величинами, связанными с ней и определяемыми путем измерений (аргументами косвенного измерения).
В общем случае уравнение косвенного измерения имеет вид
, (3.32)
где X – функция косвенного измерения;
x1; x2; …; xm – аргументы косвенного измерения.
Методика обработки результатов косвенных измерений приведена в Рекомендации МИ 2083–90 «Государственная система обеспечения единства измерений. Измерения косвенные. Определение результата измерений и оценивание их погрешностей» с учётом следующих допущений: аргументы, от которых зависит измеряемая величина, принимаются за постоянные физические величины; известные систематические погрешности результатов измерений исключены, а НСП аргументов заданы своими границами и подчиняются равномерному закону распределения.
Оценка результата косвенного измерения 
может быть получена путем подстановки в уравнение косвенного измерения (3.32) оценок аргументов 
:
. (3.33)
При нахождении доверительных границ результата косвенного измерения, в соответствии с МИ 2083–90, следует различать два существенно отличающихся случая:
1) уравнение косвенного измерения является линейным;
2) уравнение косвенного измерения является нелинейным.
Линейное уравнение косвенного измерения имеет общий вид:
, (3.34)
где a1; a2; …; am – известные коэффициенты.
При этом предполагается, что коэффициенты a1; a2; …; am известны абсолютно точно (не содержат погрешностей).
В этом случае результат косвенного измерения вычисляется по формуле
. (3.35)
Если корреляция между погрешностями измерений отсутствует, то СКО результата косвенного измерения SX вычисляется по формуле
, (3.36)
где si – СКО случайной погрешности результата измерения i-го аргумента.
Если распределение случайных погрешностей аргументов косвенного измерения не противоречит нормальному закону, то доверительные границы случайной погрешности результата косвенного измерения e (P) определяется по выражению
, (3.37)
где tq – коэффициент Стьюдента, соответствующий доверительной вероятности P = 1– q и эффективному числу степеней свободы fэф, вычисляемому по формуле
, (3.38)
где ni – число наблюдений i -го аргумента, при обработке которых были получены оценки его результата и погрешности.
Если неисключённые систематические погрешности аргументов косвенного измерения заданы своими границами, то границы НСП результата косвенного измерения определяются по формуле
, (3.39)
где k – коэффициент, определяемый таким же образом, как и при обработке прямых измерений (см. рис. 3.1).
Погрешность результата косвенного измерения определяется на основе сравнения случайной и неисключённой систематической погрешностей таким же образом, как и для прямых однократных измерений (3.29) – (3.31). При этом в (3.31) коэффициент K зависит от принятой доверительной вероятности и отношения 
(табл. 3.3).
