2020-04-20
200
Вначале строится D - разбиение в плоскости заданного параметра [2,3,4). Пусть таким параметром является коэффициент усиления k8, который входит в выражение для а4 собственного оператора (3.38). Величины остальных коэффициентов считаются заданными. Решается уравнение D зам (s) = 0 или
относительно коэффициента k8:
Выражение для k8 приводится к стандартной (для введения в микроЭВМ) форме:
(3.39)
где 
В выражение для коэффициентов уравнения (3.39) подставляются численные значения параметров САР к1 = 1; к2 = 1; к3 = 2; к4 = 1; к5 = 0,5; к6 = 0,7; к7 = 1; к9 = 0,6; к10 = 1; к11 = 1; к12=1; Т1 = 1 с; Т2 = 0,1 с; Т3 = 0,2 с; Т4 = 0,1 с (исходные данные: см. табл. Приложения 2, группа 2, вариант 3). После подстановки численных значений получают: b0 = 0,002; b1 = 0,046; b2 = 0,244; b3=0,71; b4 = 0,48; a0 = - 0,5.
 |
Воспользовавшись программой RADIS (см.разд.2), определяют действительную и мнимую составляющие частотной функции k8 для ряда значений частот. Наибольшую частоту колебаний принимают
. Шаг по частоте принимают равным 0,5 с-1. В результате расчета и построения получают кривую D - разбиения для положительных значений частот (рис.3.3). Зеркальным отображением кривой относительно
действительной оси дополняют D - разбиения для отрицательных частот колебаний. Крива D - разбиения заштриховывается с левой стороны по мере возрастания частоты колебаний w. Воспользовавшись правилом подсчета корней характеристического уравнения для каждой из выделенных областей D - разбиения определяют область I, соответствующую наибольшему числу корней с отрицательной вещественной частью, т.е. более вероятную область устойчивости САР.
Для проверки устойчивости САР в области I задаются величиной Re k8, взятый из этой области, например Re k8 = 1, и записывают характеристический полином или собственный оператор замкнутой САР в форме (3.38) с числовым значением коэффициентов:
D зам (s) = 0,002s4 + 0,046s3 + 0,244s2 +0,71s + 1,01
Для проверки устойчивости САР по критерию Рауса-Гурвица составляется квадратная матрица Гурвица из коэффициентов а0...ап ;
|
|
|
| ||||||||||||||||
 |  | |  |  | |||||||||||||||
|
|
|
|
 |  |
При а0 = 0,002 > 0 анализируются знаки диагональных миноров:
D1 = 0,46 > 0;
D2 = 0,046 × 0,244 - 0,002 × 0,71 = 0,11 > 0;
D3 = 0,046 (0,244 × 0,71 - 0,046 × 1,01) × 0,002 (0,71 × 0,71 -
- 0 × 0,046) = 0,0048 > 0;
D4 = D3 × 1,01 = 0,004848 > 0.
Все диагональные миноры положительные, следовательно САР устойчива и область I D - разбиения (см.рис.3.3) является областью устойчивости САР. Максимальное допустимое значение коэффициента к8 равно 5,58.
Проверка устойчивости САР по одному из критериев является достаточной, однако для овладения навыками оценки устойчивости САР по другим критериям анализируется устойчивость системы по частотным критериям Михайлова и Найквиста.
Оценка устойчивости замкнутой САР по критерию Михайлова производится построением годографа Михайлова по собственному оператору САР (3.38) с соответствующими числовыми значениями коэффициентов а0... а4. Наибольшую частоту wнб и шаг по частоте Dw выбирают равными wнб и Dw, принятыми при построении D - разбиения. В результате расчета и построения на комплексной плоскости получают годограф Михайлова (рис.3.4), который охватывает в положительном направлении четыре квадранта, следовательно, замкнутая САР с характеристическим полиномом четвертого порядка устойчива.
Для проверки устойчивости по критерию Найквиста анализируется АФЧХ разомкнутой системы. Передаточная функция разомкнутой САР (3.34) при принятых значениях коэффициентов имеет вид
 |
(3.40)
Вначале определяется устойчивость разомкнутой системы. Для этого используются собственный оператор (3.37) разомкнутой САР с числовыми значениями коэффициентов:
D раз (s) = 0,002s4 + 0,046s3 + 0,244s2 +0,71s + 0,51.
Используя критерий Рауса-Гурвица, можно показать, что разомкнутая система устойчива. Затем, воспользовавшись программой RADIS, рассчитывается по выражению (3.40) и строится АФЧХ разомкнутой САР. Из представленного на рис.3.5 графика следует, что АФЧХ разомкнутой САР не охватывает точку с координатой (-1; j0), следовательно, замкнутая САР будет устойчива.
 |
