Дискретные случайные величины

Определение. Дискретные случайные величины - это случайные величины, которые могут принимать только конечное или счетное множество (т.е. бесконечное множество, все члены которого можно занумеровать натуральными числами) значений.

Например, число появлений герба при трех подбрасываниях монеты (возможные значения 1, 2, 3); число отказавших элементов в приборе, состоящем из 5 элементов (возможные значения 0,1, 2, 3, 4, 5); число выстрелов до первого попадания в цель (возможные значения 1, 2, …, К; где К – число имеющихся патронов), все это дискретные случайные величины.

Для полной вероятностной характеристики дискретной случайной величины Х, принимающей значения х₁, х₂, х₃, …, достаточно знать вероятности, с которыми дискретная случайная величина принимает свои значения: р_к = Р{Х = х_к}.

Определение. Совокупность значений случайной величины { х_к } и их вероятностей { р_к } называют рядом распределения. Ряд распределения часто записывают в виде таблицы, где в верхней строчке перечисляют значения случайной величины, а нижней - вероятности этих значений.

Чтобы придать ряду распределения более наглядный вид, часто прибегают к его графическому изображению - многоугольнику распределения.   Многоугольник распределения строится следующим образом: по оси абсцисс откладывают возможные значения случайной величины х₁, х₂, х₃, …, а по оси ординат - вероятности этих значений р₁, р₂, р₃, ….Полученные точки с координатами

(х₁,р₁), (х₂,р₂), (х₃,р₃), … соединяют отрезками прямых.

Функция распределения любой дискретной случайной величины определяется через ряд распределения с помощью равенства

F(x) = ,

 из которого следует важное свойство ряда распределения: сумма всех вероятностей, составляющих ряд распределения, равна единице:

 = 1.

Исходя из определения функции распределения дискретной случайной величины, можно записать некоторые характерные свойства такой функции:

1) функция распределения дискретной случайной величины является ступенчатой;

2) функция распределения дискретной случайной величины возрастает скачками при тех значениях х, которые являются возможными значениями этой случайной величины;

3) величина скачков функции распределения дискретной случайной величины равна р_k= Р{Х = х_k}.

4) сумма всех скачков функции распределения дискретной случайной величины равна единице.