Простейшие свойства дисперсии

1) дисперсия любой случайной величины неотрицательна:

D(X)³0 (следует из определения);

2) дисперсия постоянной равна нулю:

D(C) = M(C – M(C))² = M(C – C)² = M(0) = 0;

3) дисперсия произведения случайной величины не постоянную равна произведению дисперсии случайной величины на квадрат постоянной:

D(C · X) = C²· D(X);

4) дисперсия случайной величины не изменится, если к случайной величине прибавить постоянную:

D(X + C) = D(X).

Определение. Случайные величины называются независимыми, если закон распределения любой из них не зависит от того, какие значения приняла другая случайная величина.

5) если Х и Y – независимые случайные величины, то

D(X + Y) = DX + DY

Дисперсия случайной величины имеет размерность квадрата случайной величины, в то время как математическое ожидание имеет размерность самой случайной величины. Для наглядной характеристики рассеивания удобнее пользоваться величиной, размерность которой совпадает с размерностью случайной величины. Для этого из дисперсии извлекают квадратный корень.

Определение. Среднеквадратическим отклонением случайной величины называется 

s(Х) = .

В математической модели случайная величина описывает те или иные параметры изучаемого явления. Числовые значения параметров зависят от выбора масштаба его измерения (например, рубли, тысячи рублей, миллионы рублей). При этом числовые характеристики случайной величины зависят от выбора масштаба измерения исходного параметра.

Для изучения свойств случайных величин, не зависящих от выбора масштаба измерения и положения центра группирования, исходную случайную величину приводят к некоторому стандартному, нормированному виду.

ЕслиМ(Х) = 0иD(X) = 1,то случайную величину Х называют нормированной. Для того, чтобы отнормировать случайную величину, из неё надо вычесть математическое ожидание и поделить на среднеквадратическое отклонение:

Д. Письменный «Конспект лекций по теории вероятностей, математической

статистике и случайным процессам» 1.17 – 1.21, 2.1 – 2.5.