Решение квадратных уравнений в поле комплексных чисел

Действия с комплексными числами в алгебраической форме

Действия с комплексными числами не представляют особых сложностей и мало чем отличаются от обычной алгебры.

Сложение комплексных чисел

Пример 1

Сложить два комплексных числа Z₁=2+5i Z₂=4-3i

Для того чтобы сложить два комплексных числа нужно сложить их действительные и мнимые части: Z=6+2i

Пример 2

Самостоятельно: Z₁=-4+10i Z₂=5+3i Ответ: Z=1+13i

Таким нехитрым способом можно найти сумму любого количества слагаемых: просуммировать действительные части и просуммировать мнимые части.

– от перестановки слагаемых сумма не меняется.

Вычитание комплексных чисел

Пример 3

Найти разности комплексных чисел и, если, Z₁=10-25i Z₂=1-3i

Действие аналогично сложению, единственная особенность состоит в том, что вычитаемое нужно взять в скобки, а затем – стандартно раскрыть эти скобки со сменой знака:

Z=10-25i -(1-3i)=9-22i

Пример 4

Самостоятельно: Z₁=-5+10i Z₂=1+3i Ответ: Z=-6+7i

Умножение комплексных чисел

Правило умножения. Комплексные числа перемножаются как двучлены, при этом учитывается, что .

Пример 5

Найти произведение комплексных чисел Z₁=1-i Z₂=3+6i Ответ: Z=9+3i

 Z₁∙Z₂= Z₂∙Z₁ – от перестановки множителей произведение не меняется.

Пример 6

Самостоятельно: Z₁=5-2i Z₂=1-4i Ответ: Z=-3-22i

Пример 7

Самостоятельно:  (2+ 8i)(2 – 8i)= 2 ² + 8²

Вывод: (a+ bi)(a – bi) = a ² + b ². Следовательно, произведение двух сопряжённых комплексных чисел равно действительному положительному числу.

Деление комплексных чисел

Деление чисел осуществляется методом умножения знаменателя и числителя на сопряженное знаменателю выражение.

Пример 8  Найти  =

(Умножаем числитель и знаменатель на (4 -i))

Пример 9 Найти  

Пример 10  Вычислить:  -(2+7i)(1-i)=-8-7i

Пример 11 Вычислить:  =-1

                            Самостоятельная работа

Вариант 1.

1. Даны два комплексных числа Z₁= (10 + 2i) и Z₂=(1 – 6i). Найдите их сумму, разность, произведение и частное.

2. Проверьте правильность следующих утверждений:

а) Сумма и разность чисто мнимых чисел есть чисто мнимое число.

Для проверки возьмите числа: Z₁=2i, Z₂=-3i

б) Произведение двух чисто мнимых чисел равно действительному числу.

Для проверки возьмите числа: Z₁=-5i, Z₂=3i

в) Квадрат чисто мнимого числа равен действительному отрицательному числу.

Для проверки возьмите числа: Z₁=10i

г) Произведение чисто мнимого числа на действительное равно чисто мнимому числу.

Для проверки возьмите числа: Z₁=7i, Z₂=3

Дополнительное задание: Найдите два комплексных числа, сумма и произведение которых равны 2.

Вариант 2.

Даны два комплексных числа z₁= (12 + 2i) и z₂=(3 – 4i). Найдите их сумму, разность, произведение и частное.

2. Проверьте правильность следующих утверждений:

а) Сумма и разность чисто мнимых чисел есть чисто мнимое число.

Для проверки возьмите числа: Z₁=2i, Z₂=-3i

б) Произведение двух чисто мнимых чисел равно действительному числу.

Для проверки возьмите числа: Z₁=-5i, Z₂=3i

в) Квадрат чисто мнимого числа равен действительному отрицательному числу.

Для проверки возьмите числа: Z₁=10i

г) Произведение чисто мнимого числа на действительное равно чисто мнимому числу.

Для проверки возьмите числа: Z₁=7i, Z₂=3

Дополнительное задание: Найдите два комплексных числа, сумма и произведение которых равны 2.

а) Сумма и разность чисто мнимых чисел есть чисто мнимое число.

Z₁=2i, Z₂=-3i, Z₁+Z₂=-i, Z₁-Z₂=5i   

 

б) Произведение двух чисто мнимых чисел равно действительному числу.

Z₁=-5i, Z₂=3i, Z₁ ∙Z₂=15

 

в) Квадрат чисто мнимого числа равен действительному отрицательному числу.

Z=10i,  Z²=-100

 

г) Произведение чисто мнимого числа на действительное равно чисто мнимому числу.

Z₁=7i, Z₂=3, Z₁ ∙Z₂=21i 

Решение квадратных уравнений в поле комплексных чисел

ax² + bx + c = 0

1 cлучай: D>0, 2 корня, х_1,2=

2 случай D=0, 1 коре нь, х=

3 cлучай: D<0, 2 корня, х_1,2=

1. Решите уравнение x² – 4x + 5 = 0.

Решение. D = – 4 < 0, уравнение имеет мнимые корни: 2+i, 2-i

 

2. Решите уравнение x² – x + 10 = 0.

Решение. D = – 39 < 0,  , уравнение имеет мнимые корни:

 

3. Решите уравнение x² – 4x + 13 = 0.

Решение. D = – 36 < 0, уравнение имеет мнимые корни: 2+3i, 2-3i

 

1. Решите уравнение x² – 2x + 15 = 0.

Решение. D = – 56 < 0,  , уравнение имеет мнимые корни:

Домашнее задание:

На «3»:

1. Даны два комплексных числа z₁= (4 + 2 i) и z₂=(1 – 3 i). Найти их сумму, разность, произведение и частное.

На «4»:

1.Даны два комплексных числа z₁= (5 + 2 i) и z₂=(2 – 5 i). Найти их сумму, разность, произведение и частное.

2.Вычислить:        Ответ:a) 2 + i

На «5»:

 Решить уравнения:

1. х ² + (5 – 2i) x + 5(1– i) = 0;

2. х ² + (1 – 2 i) х – 2 i = 0;