Комплексные числа

Комплексным числом называется число вида , где , -действительные числа, символ - мнимая единица, для которой . Число - называется действительной частью комплексного числа , число - мнимой частью. Множество всех комплексных чисел обозначается .

Комплексное число изображается на плоскости с системой координат (называемой комплексной плоскостью) точкой, обозначаемой той же буквой и имеющей координаты .

Комплексное число на комплексной плоскости изображается также радиус-вектором точки . Длина радиус-вектора называется модулем комплексного числа: , а угол его с осью называется аргументом комплексного числа: , .

Аргумент комплексного числа вычисляют, как правило, по формуле: .

Комплексно-сопряжённым числу называется число .

Представление комплексного числа выражением называется алгебраической формой комплексного числа, выражением - тригонометрической формой ивыражением - его показательной формой.

Арифметические действия (сложение, вычитание, умножение) над комплексными числами в алгебраической форме выполняют по правилам действий над многочленами, с учётом того, что :

;

.

Деление комплексных чисел выполняют по формуле: .

Умножение и деление комплексных чисел в тригонометрической форме выполняют по формулам:

;

.

Умножение и деление комплексных чисел в показательной форме выполняют по формулам: ; .

Возведение комплексного числа в натуральную степень выполняют, используя формулу Муавра: .

Извлечение корня -ой степени из комплексного числа (не равного нулю) выполняют по формуле:

,

(здесь - действительное положительное число). Корень степени из комплексного числа имеет различных значений, расположенных на комплексной плоскости на окружности радиуса .

Алгебраическим многочленом степени называется выражение вида: , где , - некоторые числа (вообще говоря, комплексные), называемые коэффициентами многочлена, причём .

Алгебраическим уравнением степени называется уравнение вида Число , для которого называется корнем многочлена или уравнения.

Теорема Безу. Число является корнем многочлена тогда и только тогда, когда делится на , т.е. когда представляется в виде: , где - многочлен степени .

Число называется корнем кратности многочлена , если , где .

Для многочленов имеет место следующая теорема:

Теорема Гаусса (основная теорема алгебры).Всякий многочлен ненулевой степени имеет ровно корней, если каждый корень считать ровно столько раз, какова его кратность.

Всякий многочлен с действительными коэффициентами всегда можно разложить в произведение линейных и квадратичных (с действительными коэффициентами) множителей.

Всякий квадратный многочлен с действительными коэффициентами на множестве комплексных чисел всегда можно разложить в произведение только линейных множителей: , где корни и многочлена находятся по формулам:

1) если , то - действительные;

2) если , то - комплексно-сопряжённые.

4.275. Изобразить на комплексной плоскости числа:

а)

;

б)

В задачах 4.276- 4.279 выполнить указанные действия, представив результат в алгебраической форме:

4.276 а) ; б) ; в) .

4.277 а) ; б) ; в) .

4.278

а) ; б) ; в) .

4.279

а) ; б) ; в) .

В задачах 4.280- 4.283 представить в тригонометрической форме комплексные числа, заданные в алгебраической форме:

4.280 а) ; б) ; в) .

4.281 а) ; б) ; в) .

4.282 а) ; б) ; в) .

4.283

а) ; б) ; в) .

4.284 Вычислить:

а) ;

б)

В задачах 4.285-4.286 представить в показательной форме следующие комплексные числа:

4.285 а) ; б) ; в) .

4.286 а) ; б) ; в)

4.287 Данные числа представить в показательной форме и выполнить указанные действия над ними:

а) ;

б)

В задачах 4.288-4.289 используя формулу Муавра, вычислить следующие выражения:

4.288 а) ; б) ; в) .

4.289 а) ; б) ; в) .

4.290 Найти и изобразить на комплексной плоскости все корни 2-й, 3-й и 4-й степени из единицы.

В задачах 4.291-4.293 найти все значения корней:

4.291 а) ; б) ; в) .

4.292 а) ; б) ; в) .

4.293 а) ; б) ; в) .

В задачах 4.294-4.296 найти все корни следующих алгебраических уравнений на множестве комплексных чисел:

4.294 а) ; б) ; в) .

4.295 а) ; б) ; в) .

4.296 а) ; б) ; в) .