Комплексные числа и действия над ними

1. Определение комплексного числа.

Комплексным числом называется выражение вида х+іу, где х и у - действительные числа, а і- символ, который называется мнимой еди­ницей, числа х и у называется, соответственно, действительной и мнимой частям комплексного числа х+іу и обознача­ются символами

х= Re (x+iy), y= Im (x+iy). (23.1)

Если в частности, у=0, то х+і0 читается сов­падающим с действительным числом х; если х=0, то 0+іу обозначается просто іу и называ­ется чисто мнимым.

Таким образом, в состав комплексных чисел входят также действительные числа. Если множество всех комплексных чисел обозна­чают через C, то R C.

Определим на множестве комплексных чи­сел понятия равенства и простейшие опера­ции.

· Два комплексных числа считаются равными, если равны порознь их действительные и мнимые части, то есть

х₁ +іу₁ =х₂+іу₂

Считаются равными тогда и только тогда, ко­гда х₁=х₂, у₁=у_2.

· Комплексное число х-іу называется со­пряженными с комплексным числом z=х+iy и обозначается

=х -іу (23.2)

Комплексное число х+iy принято обозначать одной буквой Z, т.е. Z=х+iy, тогда формула (23.1) пишется в виде:

Х= Re(x+iy)= ReZ, Y= Im(х+iy)=Im а из (23.2) (23.3)

(Re и Im –являются сокращениями француз­ских слов Reel - действительный и Imaginan­ize - мнимый).

Число называется модулем ком­плексного числа Z=х+iy и обозначается :

= = (23.4)

Очевидно, , причем =0, тогда и только тогда, когда =0. Модуль действи­тельного числа совпадает с абсолютной ве­личиной этого числа.Отметим две формулы:

= (23..5)

Z = (23.6)

которые вытекают из (23.3), (23.4) и равенства

ZZ =(х+iy)()= x²+y²

Теперь рассмотрим операции над комплекс­ными числами.

I. Сложение. Суммой Z₁+ Z₂ комплекс­ных чисел Z₁=х₁+iy₁ и Z_2-=х₂+iy₂

называется комплексное число

(23.7)

Из этого определения непосредственно вы­текают следующие законы сложения:

А) переместительный: (или закон комму­тативности)

Z₁+Z₂=Z₂+Z₁,

Б) сочетательный (ассоциативности):

Z₁ + (Z₂+Z₃) = (Z₁+Z₂) + Z₃.

Если Z₁ и Z₂ действительные числа (т.е. У₁=У₂=0), то определение (23.7) совпадает с определением сложения для действительных чисел.

Сложение допускает обратную операцию: для любых комплексных чисел Z₁=х₁+ iy₁ и Z₂= х₂+ iy₂ можно найти такое число Z, что Z₂+Z=Z₁. Это число называется разностью чи­сел Z₁ и Z₂ и обозначается символом Z₁- Z₂.

Очевидно

Z= Z₁- Z₂ = (х₁-х₂) +і (у₁-у₂) (23.8)

Умножение. Произведением Z₁,Z₂ комплексных чисел Z₁=х₁+iy₁ и Z₂=х₂+iy₂ называется комплексным число

Z= Z₁* Z₂ = (Х₁Х₂-У₁У₂) + і(Х₁У₂+У₁Х₂) (23.9)

Умножение комплексных чисел обладает следуюшими своиствами:

А) переместительный: Z₁* Z₂= Z₂* Z₁:

Б) сочетательный: Z₁ (Z₂ *Z₃) = (Z1* Z₂) Z₃:

В) распределительный (дистрибутивности)

Z₁ (Z₂ +Z₃) = Z₁ Z₂+ Z₁ Z₃

Если Z₁ и Z₂ – действительные числа, то оп­ределение (23.9) совпадает с обычным. При Z₁= Z₂=і из определения произведения сле­дует:

(23.10)

Умножение также допускает обратную опе­рацию, если только данный множитель не ра­вен нулю. Пусть Z₂ , тогда можно найти такое число Z, что Z₂ Z= Z₁ , для этого, со­гласно (23.9) надо решить систему уравнений

(23.11)

которая при Z₂ всегда однозначно разре­шима, так как ее определитель Х +У > 0. Это число называется частным двух чисел Z₁ и Z₂ и обозначается символом Z.

Решая систему (23.11)

Z = Z₁ /Z_{2 =} i (23.12)

легко заметить, что (23.12) может быть полу­чено умножением числителя и знаменателя дроби Z₁/Z₂ на .

Пример 23.1. Даны числа Z₁=1+2i, Z₂ =4+3i найти Z₁Z₂ и

Решение. Согласно формуле (23.9) имеем

Z₁Z₂= (1+2i) (4+3i) ==(1*4-2*3)+i(1*3+2*4)=2+11i.

Применяя формулу (1.12), получим

Z= = = .

3. Возведение в целую степень. Произведение n равных чисел Z называется n -й степенью числа Z и обозначается символом Zⁿ:

(23.13)

n –раз.

Обратная операция – извлечение корня – оп­ределяется следующим образом: число W на­зывается корням n-й степени из числа Z,если Wⁿ=Z (обозначается символом , причем для n=2 пишут просто ). Эта для всякого Z корень имеет n различных значений.

Так как ii=i²=-1 мы можем писать

i= (23.14)

2. Геометрическая иллюстрация

Рис 1.1

Рис 1.2

Пусть на плоскости задана прямоугольная система координат. Комплексное число Z=х+iy изображается точкой плоскости с координатами (х, у), и эта точка обозначается той же буквой Z.

Такое соответствие между комплексными числами и точками плоскости, очевидно, яв­ляется взаимно однозначным. При этом дей­ствительные числа изображаются точками оси абсцисс, а число мнимые точками оси орди­нат. Поэтому ось абсцисс называется дейст­вительной осью, а ось ординат - мнимой осью. Плоскость, на которой изображаются комплексные числа, называется комплексной плоскостью. Комплексное число Z изобража­ется также вектором с началом точке 0 и концом в точке Z. Рис 1.1 Из формулы (1.4) и (рис. 1.1) и видно, что длина вектора Z равна и имеют место неравенства.

С помощью векторной интерпретации на­глядно иллюстрируются сложение и вычита­ние комплексных чисел. Из формулы (23.7) вытекает, что число по обычному правилу сложения векторов Z₁ Z₂(рис.1.2.).Вектор Z₁-Z₂ строится как сумма векторов Z₁и -Z₂. (рис.1.2.)

Из (рис.1.2) видно, что расстояние ме­жду точками Z₁ и Z₂ равно длине вектора Z₁-Z₂, то есть равно

Пример 23.2. Множество точек Z, удовлетво­ряющих уравнению , есть окруж­ность радиуса R с центром в точке , так - расстояние между точками Z и Z₀.

Пример 23.3. МножествоZ, удовлетворяю­щих уравнению , есть множе­ство точек равноудаленных от точек Z₁и Z₂ . Следовательно, это уравнение прямой, пер­пендикулярной отрезку, соединяющему точки Z₁ и Z_2, и проведенной через его сере­дину.

Пример 23.4. а) Множество точек Z удовле­творяющих уравнению , есть эллипс с фокусами в точках Z₁,Z₂ и с большой полуосью, равной а так как - сумма расстояний от точки Z до точек Z₁ иZ₂ .

б) Аналогично, уравнение , где , является уравнением ги­перболы с фокусами в точках Z₁,Z₂ и с дей­ствительной полуосью, равной а.

Неравенства треугольника. Для любых комплексных чисел Z₁ и Z₂ имеют место не­равенства

(23.15).

Доказательство. Длина сторон треугольника с вершинами в точках 0, Z₁ , Z₁ + Z₂ равны и (рис.1.2). Следовательно, неравенство (23.15) является известным из элементарной геометрии неравенством для длин сторон треугольника.

Следствие. Для любых комплексных чисел Z₁ , Z₂ ,… Z_n имеет место неравенство

(23.16)

§3.Тригонометрическая алгебраическая, по­казательная формы записи комплексных чисел. Аргумент и главное значение аргумента. Форму записи комплексного числа Z в виде Z= х+iу называет алгебраической.

Z=х + iy алгебраическая форма комплекс- ного числа.

Рис23.3

Положение точки Z=х + iy на

комплексной плоскости однозначно опреде­ляется не только декартовыми координатами Х, У, но и полярными координатами (рис.23.3), где r = - расстояние от точки до точки Z, а - угол между действительной осью и вектором Z, отсчитываемый от поло­жительного направления действительной оси. При этом если отсчет ведется против часовой стрелки, то величина угла считается положи­тельной, а если по часовой стрелке - отрица­тельной.

Этот угол называется аргументом комплекс­ного числа Z (Z ) и обозначается так: =arg Z (обозначение arg является сокраще­нием французского слова argument (аргу­мент)). Для числа Z =0 аргумент не определя­ется, поэтому во всех дальнейших рассуж­дениях, связанных с понятием аргумента предполагается, что Z

Из рис 23.3. видно, что

x = cos , y = rsin (23.17)

Следовательно, любое комплексное число Z можно представить в виде.

Z=r (cos +isin ) (23.18)

Запись комплексного числа в виде (23.18) на­зывается тригонометрической формой ком­плексного числа. Таким образом запись Z=r (cosφ+isinφ) тригонометрическая форма комплексного числа. Из формулы (23.17) вытекает, что если

z=х+iу, =argz, то cos = , sin = (23.19)

Система (23.19) имеет бесконечно много реше­ний, и все эти решения задаются формулой

,

Таким образом, аргумент комплексного числа определяется неоднозначно: если - одно из значений аргумента комплексного числа Z, то все значения аргумента этого числа находится по формуле

arg Z= … (23.20)

Из системы (23.19) видно, что аргумент ком­плексного числа Z= х+iу удовлетворяет уравнению

tg (23.21)

Следует иметь в виду, что не все решения уравнения (23.21) являются решениями сис­темы (23.19)

Таким образом, либо 0 arg Z , либо - .

Значение arg Z = arg (x+iy) легко выра­зить через arсtg . Учитывая что- arctg в случае, если 0 arg Z< получаем

если если если если если

Если же - arсtg то

если если если если если если

В дальнейшем, если не оговорено особо бу­дем считать, что - arg Z

Пример 23.5. Даны числа Z₁=-3+4i, Z₂ =4-3i. Найдите глав­ные значения аргумента этих чисел. Запишите эти числа в тригонометрической форме.

Решение.

Так как ReZ₁=x=-3, ImZ₁=y=4, то arg Z= , ReZ₂=x=4, ImZ₂=y= -3

Поэтому arg Z₂= , поскольку

r=

Пример 23.6. Найдем аргумент комплексного числа Z=-1-i.

Так как точка Z=-1-i. лежит в третьей четверти и tg , то

arg (-1- i) = , ...

Если =1, =arg , то по формуле (23..18) имеем z=cos +isin . Комплексное число cos +isin обозначается символом еⁱ , т.е. функция еⁱ для любого действительного числа определяется формулой Эйлера

е ⁱ = cos +isin (23.22)

В частности =1 е =-1, =i, =- i, =1 для любого действительного числа

Из (23.22) заменой φ на – φ получим

е^-iφ=cos φ-і sin φ (23.23)

Сложением и вычитанием равенств (23.22) и (23.23) получаем формулы Эйлера

cos = sin = (23.24)

с помощью которых тригонометрические функции выражаются через показательную функцию.

Функция еⁱ обладает обычными свойствами показательной функции, как если бы число i было действительным. Отметим основные из них:

= (23.25)

= (23.26)

(еⁱ )ⁿ = еⁱⁿ , n=0, ... (23.27)

Докажем равенство (23.25).Имеем

= ₌

= cos i sin =е ⁱ

аналогично проверяется равенство (23.26). Ра­венство (23.27) получается из (23.25) и (23.26).

Из (23.27) и (23.22) вытекает формула Муавра

=cosn +i sinn ,n=0 (23.28)

Из формулы (23.18) и (23.22) следует, что любое комплексное число можно пред­ставить в виде

Z= reⁱ (23.29) где r = =arg . Запись комплексного числа в виде (23.29) называется показательной формой комплексного числа. С помощью (23.25) и (23.26) можно получить формулы ум­ножения и деления комплексных чисел, запи­санных в показательной форме:

Z ₁ Z ₂ = r₁ еⁱ . r₂ еⁱ = r₁ r₂ еⁱ (23..30)

= r₁ еⁱ / r₂ еⁱ = r₁/ r₂ е ⁱ (23.31)

Из формулы (23.30) следует, что модуль произведения двух комплексных чисел равен произведению модулей этих чи­сел:

= а сумма аргументов сомно­жителей является аргументом произведения: если

=argZ₁, =argZ₂ тo + =arg(Z₁Z₂ ) (23.32)

Аналогично из формулы (23.31) вытекает, что модуль частного двух комплексных чисел равен частному модулей этих чисел:

= , Z₂ , а разность аргументов делимого и делителя является аргументом частного, если =arg Z₁ , =arg Z_{2 ,}то = arg (23.33)

Таким образом, при умножении и делении комплексных чисел, записанных в тригонометрической форме, имеет место следующая теорема.