Путь, пройденный точкой

Если точка движется прямолинейно и ее скорость υ =f (t) есть известная функция времени t, то путь, пройденный точкой за промежуток времени

  t1 ≤ t ≤ t2, вычисляется по формуле

                                                          .

 

Пример. Тело движется прямолинейно со скоростью υ=0.1 t³ м/с. Вычислить путь, пройденный телом за 10с.

Решение. Применяя формулу , находим 

.

Пример. Скорость движения материальной точки задается формулой м/с. Найти путь, пройденный точкой за первые 4 с от начала движения.

Решение. Согласно формуле , имеем

(м).

Итак, за 4 с точка прошла 244 м.

 

Пример. Скорость движения изменяется по закону  м/с.

Найти длину пути, пройденного телом за 3-ю секунду его движения.

Решение.  (м).

Работа, затраченная на растяжение или сжатие пружины.

Согласно закону Гука, сила F, необходимая для растяжения или сжатия пружины, пропорциональна величине растяжения или сжатия.

Пусть x – величина растяжения или сжатия пружины. Тогда F=kx, где k- коэффициент пропорциональности, зависящий от свойства пружины.

Работа на участке Dx (Dx =x₁-x₀) выразится формулой DA»FDx, а вся затраченная работа – формулой - A»SFDx или A»SkxDx. Переходя к пределу при Dx®0, получим истинную величину работы

Пример. Какую работу совершает сила в 10 H при растяжении пружины на 2 см?

Решение.  Использую условие, находим k=10/0,02=500(H/м), то есть F=500x. Согласно формуле, получим

 

 

=0.1(Дж)

 

Задача.

На железнодорожном переезде у машины заглох мотор. Хозяин автомобиля побежал навстречу поезду, подавая сигналы об опасности. Можно ли избежать аварии, если машинист увидел сигнал на расстоянии 900 метров от переезда и при экстренном торможении скорость грузового поезда меняется по закону а скорость пассажирского поезда по закону где v – скорость (м/с), t – время (сек)?

 

             

 Скорость движения поезда до начала торможения – 72 км/ч.

Решение.

Прежде всего, переведём единицы измерения скорости в соответствие с условием задачи: v ₀ = 72 км/ч = 72000м/3600сек = м/с = 20 м/с.      

 Рассмотрим два случая: 1) по пути движется грузовой поезд; 2) по пути движется пассажирский поезд.

1 случай: по пути движется грузовой поезд.  

В момент остановки скорость поезда равна 0. Следовательно,

                                            .                 

Решая уравнение, найдём время, через которое поезд остановится после начала торможения:

                          

 

   сек

 

Отсюда находим тормозной путь:

м.

Так как тормозной путь больше расстояния, на котором находится поезд – 1000м > 900м, то избежать столкновения не удастся.

2 случай: по пути движется пассажирский поезд.  

В момент остановки скорость поезда равна 0. Следовательно,

                                         .

Решая уравнение, найдём время, через которое поезд остановится после начала торможения:

                         

 

 

                      Отсюда находим тормозной путь:

м.

Так как тормозной путь меньше расстояния, на котором находится поезд – 500м < 900м, то аварии можно избежать.

 

Задача.

В течение квартала

Ответ: объем выпуска продукции за квартал равен 10185 единицам.

Экспериментально установлено, что продуктивность труда работника приближенно выражается формулой: f (t) = -0,0033t²- 0,089t + 20,96,         t-рабочее время в часах.

Вычислить объем выпуска продукции за квартал, считая рабочий день 8- часовым, кол-во рабочих дней в квартале – 62.

Решение.

Объем выпуска продукции в течение смены является первообразной для функции, выражающей продуктивность труда следовательно

 

Определить какой тормозной путь должен пройти автомобиль движущийся со скоростью Vкм/ч до полной остановки.

Дано: 1. Скорость движения автомобиля V=20; 30; 40; 50; 60; 70; 80; 90; 100; 120 км/ч.

2. Формула по которой определяется длина тормозного пути

St=2V/3.6+1.4xV²/254(µ+-1), где V скорость км/ч

µ - коэффициент сцепления с дорогой, зависит от состояния покрытия дороги принимается:

1. Покрытие сухое чистое       µ=0.5-0.7 4

2. Покрытие влажное грязное µ = 0.2-0.3

3. Покрытие обледенелое       µ=0.1

1 - Продольный уклон дороги: плюс при движении на подъем, минус при движении под уклон.

 В задаче значения уклона принимать одно из следующих:

1=0.005, 0.01, 0.015, 0.02, 0.03, 0.04, 0.05, 0.06

 

Задачи профессиональной направленнности:

 

1. Определить теоретическую пропускную способность одной полосы движения по автомобильной дороге.

  Дано: 1. Скорость движения автомобиля

 V=(можно брать скорость): 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100, 120 кмIч.

  2. Теоретическая пропускная способность дороги определяется по формуле: N1=1000V/(V/3.6+1.4V²/127+10) автомобилей в час.

Примечание: (для преподавателя) полосой движения называется полоса, по ширине проезжей части, занимаемая одним движущимся автомобилем. 

2. Определить ширину полосы движения для двухполосной дороги с двухсторонним движением.

Дано: 1. Скорость движения автомобиля: 

V=60, 80, 100 км/час

1. Ширина полосы определяется по формуле: П=2x50+0.01xV

Задача. В двигателе внутреннего сгорания сгораемые газы развивают максимальное давление.

 Р=10атм(кг/см) Диаметр цилиндра - Дц=350мм=35см

Крышка цилинра закреплена болтами с диаметром Д=18мм

Рассчитать количество болтов крышки,если допускаемое напряжение испытываемого материала болтов при расстоянии 16р/ = 400кг/см

Дано: p =10 кг/см

Дц=350мм

Ds= I8мм

16р/=400 кг/см

Найти:Nб

 

Решение:

1. Общая или суммарная сила, стремящаяся оторвать крышку от цилиндра

Р=Рmax x Fкр =Р x (ПDу²)/4= (10x3.14x35²)/4=9600(кг)

2. Предельнаясила, выдерживаемая одним болтом Бр=Рб=Fб (напряжение на растяжение болта равно относительно растягиваемого усилия на площадь поперечного сечения болта (из теоремы Сокроманта))

Отсюда: Pб=Pб/Fб=400(П1.8²)/4=1000кг

З. Необходимо количество болтов для крепления крышки:

 Nб=Р/Рб=9600/1ООО=9.6 ~ 1О(болтов)

Практические задания

Задание №1. Вычислить путь, пройденный телом

1. Тело движется прямолинейно со скоростью υ=0.2 t³ м/с. Вычислить путь, пройденный телом за 10с.

 

2. Скорость движения материальной точки задается формулой м/с. Найти путь, пройденный точкой за первые 2 с. от начала движения.

 

3. Скорость движения изменяется по закону  м/с.

Найти длину пути, пройденного телом за 4-ю секунду его движения.

 

4. Тело движется прямолинейно со скоростью υ=0.2 t³ м/с. Вычислить путь, пройденный телом за 2-ю с.

 

5. Скорость движения материальной точки задается формулой м/с. Найти путь, пройденный точкой за первые 3 с. от начала движения.

 

Задание №2. Вычислить  совершенную работу.

1. Сила в 60 H растягивает пружину на 2 см. Первоначальная длина пружины равна 14 см. Какую работу нужно совершить, чтобы растянуть ее до 20 см?

2. Какую работу совершает сила 8 Н при растяжении пружины на 6см?

3. Сила в 40 H растягивает пружину на 0,04м. Какую работу надо совершить, чтобы растянуть пружину на 0,02 м?

4. Пружину в спокойном состоянии имеет длину 20 см. Сила в 9,8 H растягивает её на 2 см. Определить работу, затраченную на растяжение пружины от 25 до 35 см.

5. Пружина в спокойном состоянии имеет длину 20 см. Сила в 50 H растягивает её на 1 см. Какую работу надо совершить, чтобы растянуть пружину от 22 до 32 см?