Хронологическая структура заданий практического занятия

Время (мин)	5	10	15	20	25	30	35	40	45	50	55	60	65	70	75	80	85	90
Структурные элементы	1	2	2	2	3	3	3	4	4	4	4	4	4	4	4	4	5	5

ДИДАКТИЧЕСКАЯ СТРУКТУРА ЗАНЯТИЯ

Структурные элементы	Деятельность преподавателя	Деятельность студентов
1. Целевая установка.	1. Сообщение плана учебного занятия. 2. Ознакомление с требованиями к знаниям и умениям по теме.	1. Подготовка рабочего места 2. Запись темы урока.
2. Проверка теоретической готовности студентов к выполнению заданий практического занятия	Проверка домашнего задания: 1) проверка выполнения решения задач №№…. (в рабочих тетрадях) 2) организация фронтального опроса 3) организация индивидуального опроса (у доски) – решение типовой задачи с объяснением алгоритма действий	Демонстрируют выполнение домашнего письменного задания Отвечают на вопросы Решают задачу. Объясняют алгоритм решения
3. Инструктаж о содержании, этапах работы, способах (методах) действий.	1) Сообщение содержания и последовательности выполнения практических заданий 2) Представление комплектов материалов, необходимых для выполнения заданий (учебник, компьютерная презентация, раздаточный материал) 3) Обучение практическим приемам: геометрического преобразования пространства: параллельный перенос, симметрия относительно плоскости; параллельного проектирования. строить проекцию середины отрезка, проекцию параллелограмма, проекцию параллелограмма, проекцию произвольного многоугольника, проекцию произвольной фигуры. Изображение пространственных фигур на плоскости с помощью параллельного проектирования фигуры на эту плоскость на примере решения типовой задачи	1) Подготовка к выполнению практических заданий 2) Ознакомление с комплектом учебных материалов 3) Усвоение правил работы: геометрические ппреобразования пространства: параллельный перенос, симметрия относительно плоскости, параллельного проектирования; строить проекцию середины отрезка, проекцию параллелограмма, проекцию параллелограмма, проекцию произвольного многоугольника, проекцию произвольной фигуры. Изображение пространственных фигур на плоскости с помощью параллельного проектирования фигуры на эту плоскость
4. Организация выполнения заданий практического занятия	1) Организация выполнения студентами практических заданий: Задание 1. Постройте проекцию равностороннего треугольника. Задание 2. Постройте проекцию равнобедренного треугольника. Задание 3. Постройте проекцию квадрата Задание 4. Постройте проекцию параллелограмма. Задание 5. Постройте проекцию ромба 3) Организация работы над основными математическими понятиями: геометрические преобразования пространства: параллельный перенос, симметрия относительно плоскости, параллельное проектирование. Свойства параллельного проектирования. Проекция середины отрезка, проекция параллелограмма, проекция параллелограмма, проекция произвольного многоугольника, проекция произвольной фигуры.	Самостоятельная работа студентов по выполнению заданий
5. Оценка выполненной работы	1) Проверка правильности выполнения заданий 2) Оценка результатов выполнения заданий	Ответы на поставленные вопросы, пояснения полученных результатов.

Основные понятия

Проектирование пространства на плоскость Q параллельно направлению, задаваемому прямой l, пересекающей плоскость Q, — это преобразование, при котором каждая точка А вне плоскости Q переходит в точку А', лежащую в плоскости Q и такую, что прямая АА' параллельна прямой l, а точки плоскости Q остаются неподвижными (рис. 1).

Для задания параллельного проектирования надо зафиксировать плоскость Q, на которую осуществляется проекция, и прямую l, пересекающую плоскость Q. Ясно, что при замене прямой l на параллельную ей параллельное проектирование не изменится.

Пусть даны плоскость Q и прямая l, пересекающая эту плоскость. Определенное нами проектирование пространства на плоскость Q параллельно прямой l задает отображение всего пространства на плоскость Q, то есть функцию f, сопоставляющую каждой точке Р пространства вполне определенную точку f(Р)= Р' плоскости Q.

Ортогональное проектирование на плоскость, при котором направление проектирования задается прямой, перпендикулярной плоскости, есть частный случай параллельного проектирования.

Свойства параллельного проектирования

1. Если точка Р принадлежит плоскости Q, то f(Р) = Р' = Р. Действительно, всякая точка плоскости Q проектируется в себя, т.е.
остается неподвижной.

Если f(Р) = Р, то Р принадлежит Q. Действительно, неподвижными могут быть только точки плоскости Q и по определению f(Р) € а.

2. Пусть А - точка пересечения прямой I с плоскостью Q, тогда f(l) =А. Это означает, что каждая точка прямой I проектируется в точку А и, следовательно, вся прямая проектируется в эту точку.

3. Пусть точки B и С проектируются в одну и ту же точку, т. е. f(В) = fС). Тогда прямая ВС параллельна прямой I. Это очевидно из рис. 1.

4. Пусть m — прямая, не параллельная I, тогда f(m) — некоторая прямая в плоскости Q, т. е. проекция прямой, не параллельной направлению проектирования, есть прямая.

Действительно, возьмем точку В на прямой m и пусть точка В' — ее проекция на плоскость Q. Точка В' не лежит на прямой m, иначе m была бы параллельной I. Проведем через прямую m и точку В' плоскость. Пусть m' — прямая, по которой эта плоскость пересекает плоскость Q. Прямая m' и есть проекция прямой m.

Рис. 1Параллельное проектирование

Р принадлежит Q => f(P)=Р'=Р;

ВС || I =>f(В) = f(С);

ВС || I =>f(ВC) = f(B'C')

Рис. 2.

Свойства параллельного проектирования: АВ || СD=> А'В' || C'D'; АВ/СD=А'В'/C'D'

Рис. 3

Проекция середины отрезка

АМ = МВ=> А'М' = М'В'

Рис. 4 Проекция параллелограмма

АВ || СD; А'В' || C'D'

=> АВ = СD А'В' = C'D'

5. Пусть АВ и СD — два параллельных (или лежащих
на одной прямой) отрезка (рис. 2.). Считаем, что АВ и СD не параллельны прямой l. Пусть они проектируются в отрезки А'В' и С'D'. Тогда А'В' || С'D'

6. Проекция середины отрезка есть середина проекции отрезка (рис. 3).

Параллельное проектирование искажает длины отрезков, но сохраняет параллельность и отношение длин параллельных отрезков.

Отсюда, в частности, следует, что проекцией параллелограмма будет параллелограмм (возможно, вырождающийся в отрезок) (рис. 4). Разумеется, при проектировании искажаются не только длины, но и также углы и площади.

Рис. 5 Проекция произвольного треугольника

Рис. 6 Проекция произвольного многоугольника

Рис. 7 Проекция произвольной фигуры

Изображение пространственных фигур

Изображение пространственных фигур на плоскости может делаться с помощью параллельного проектирования фигуры на эту плоскость.

При этом можно получить различные изображения, по-разному выбирая направление проектирования.

Рассмотрим важнейшие примеры. В каждом из них возможны вырожденные случаи, появляющиеся при специальном выборе направления проектирования.

1. Изображением треугольника будет треугольник.

3а счет выбора направления проектирования изображением данного треугольника можно получить любой треугольник (рис. 8).

2. Изображением параллелограмма будет параллелограмм.

3. Изображением окружности будет эллипс.

Заметим только, что окружность следует считать частным случаем эллипса. Если окружность лежит в плоскости, параллельной плоскости проектирования, то ее изображением будет окружность.