Теорема о трёх перпендикулярах (прямая и обратная)

Формулировка (прямая теорема): если прямая, проведённая на плоскости через основание наклонной, перпендикулярна её проекции, то она перпендикулярна и самой наклонной.

(Доказательство прямой теоремы)

доказательства теоремы о трёх перпендикулярах с помощью векторов. Этот способ не требует специального расположения прямой, проведённой на плоскости перпендикулярно наклонной или её проекции. Совсем необязательно, чтобы прямая на плоскости проходила через основание наклонной; главное, чтобы она была перпендикулярна этой наклонной.

Вот этот способ.

Дано:
Плоскость α
SO ┴ α
SA – наклонная
OA – проекция SA
MN принадлежит α

Доказать:
MN ┴ SA

Доказательство:

Зададим векторы , , , .
= +
Умножим обе части на :
• = • + •
Скалярное произведение двух перпендикулярных векторов равно 0:
• = 0, но и не нулевые векторы, значит, ┴ , прямая оказалась перпендикулярной наклонной, что и требовалось доказать.

 ВЕКТОРНОЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ Пифагора:
Пусть АВС - прямоугольный треугольник с прямым углом при вершине С, построенный на векторах. Тогда справедливо векторное равенство: b + c = a
откуда имеем
c = a - b
возводя обе части в квадрат, получим
c²=a²+b²-2ab
Так как a перпендикулярно b, то ab=0, откуда
c²=a²+b² или c²=a²+b²
Теорема Пифагора снова доказана.
Если треугольник АВС - произвольный, то та же формула дает т. н. теорему косинусов, обобщающую теорему Пифагора.

Теорема косинусов для треугольника.

 Во всяком треугольнике

,

.

Доказательство:

Рассмотрим векторное равенство . Возьмем скалярный квадрат:

,

,

.

Пусть - единичный вектор, отложенный от точка А на луче [АВ), - единичный вектор, отложенный от точки А на луче [АС). Тогда

.

Отсюда

,

.

Практические задания

1. Доказать теорему о перпендикулярности прямой и плоскости.
2. Дана пирамида АВСD, все грани которой – правильные треугольники. Докажите, что скрещивающиеся ребра взаимно перпендикулярны.

 УЧЕБНАЯ КАРТА ПРАКТИЧЕСКОГО ЗАНЯТИЯ №12