Распространение световых волн в изотропных средах 6 страница

Ответ:

15. Дифракция света на ультразвуковой волне в толуоле на­блюдается в задней фокальной плоскости объектива с . Частота ультразвуковых колебаний , скорость звука в толуоле , а длина волны излучения  (зеленая линия ртути). Определить расстояние между соседними главными максимумами в дифракционной картине.

Ответ: .

16. При каком условии можно наблюдать зеркальное отражение от шероховатой поверхности при малых и больших углах падения?

Ответ: при углах падения, близких к , зеркальное от­ражение наблюдается всегда. Если углы падения малы, то зеркаль­ное отражение наблюдается при , где  – высота микроне­ровностей.

17. Определить предельное угловое разрешение глаза, если диаметр входного зрачка глаза , а показатель преломления внутриглазной жидкости примерно равен показателю воды . Длина волны излучения .

Ответ: .

18. Через микроскоп рассматривается изображение амплитуд­ной дифракционной решетки с периодом  при ее нормальном осве­щении плоской монохроматической волной. Найти минимальный пери­од решетки , при котором изображение решетки наблюдается на пределе разрешения. Числовая амплитуда микрообъектива , а длина волны света .

Ответ: .

19. Оптическая афокальная система состоит из двух одинако­вых идеальных объективов  и , причем в передней фокальной плоскости первого объектива размещена фазовая синусоидальная дифракционная решетка, а в совмещенных фокальных плоскостях объективов уста­новлена прозрачная пластина П, перекрывающая нулевой дифракци­онный максимум   (рис. 5.10).  Амплитудный  коэффициент  пропускания  дифракционной  решетки

Рис 5.10.

 

описывается выражением , где . Определить распределение интенсивности света в задней фокальной плоскости второго объектива, если пластина вносит в нулевой по­рядок фазовую задержку, равную:

а) ;

б) .

Ответ:

а) ;

б) .

20. Найти зависимость контраста дифракционной картины в схеме Юнга (см. рис. 4.5) от ширины протяженного квазимонохро­матического источника света .

Указание: Воспользоваться теоремой Ван-Циттерта-Цернике.

Ответ: .

21. На рис. 5.11 - 5.27 представлены отверстия разной формы в непрозрачном экране. На отверстия, которые на рисунках изображены заштрихованными, падает плоская однородная монохро­матическая волна. Получить зависимость интенсивности света в плоскости, отстоящей от плоскости отверстия на расстояние . Для каждого отверстия рассмотреть два случая: нормальное освещение и освещение под утлом . Исходные данные для решения задачи: ; ; ; ; .

 

          Рис 5.11.                                 Рис. 5.12.                                Рис 5.13.

 

        

      Рис. 5.14.                                      Рис. 5.15.                                 Рис. 5.16.

                 Рис. 5.17.                               Рис. 5.18.                            Рис. 5.19.   

 

 

       Рис. 5.20.                               Рис. 5.21.                                   Рис. 5.22.

 

 

        Рис. 5.23.                               Рис. 5.24.                            Рис. 5.25.

 

 

              Рис. 5.26.                                    Рис. 5.27.

 

Вопросы для самоконтроля

1. При каких условиях возможно наблюдение дифракционных явлений в оптике?

2. Как объяснить прямолинейное распространение света с позиции теории дифракции?

3. Приведите математическую формулировку принципа Гюйгенса-Френеля.

4. При каком соотношении длины волны и линейных размеров отверстий в экране применимы граничные условия Кирхгофа?

5. Сформулируйте условия, соответствующие областям дифракции Френеля и Фраунгофера.

6. Напишите формулу Кирхгофа, связывающую комплексные амплитуды монохроматической волны в плоскости отверстия и в плоскости наблюдения, выделив отдельно общий случай и частные случаи для областей дифракции Френеля и Фраунгофера.

7. Почему картину дифракции Фраунгофера на отверстии в непрозрачном экране можно наблюдать в задней фокальной плоскости объектива, расположенного за отверстием?

8. Можно ли каким-либо способом получить бесконечно узкий параллельный пучок света?

9. Как изменяется распределение интенсивности в дифракционной картине Фраунгофера от отверстия, если отверстие сместить в поперечном направлении?

10. На экран с несколькими параллельными, равностоящими щелями (амплитудная дифракционная решетка) падает плоская монохроматическая волна:

а) напишите выражение для интенсивности света в области дифракции Фраунгофера;

б) сформулируйте условие главных максимумов при поперечном смещении дифракционной решетки?

в) измениться ли условие главных максимумов дифракционной решетки;

 г) почему при освещении дифракционной решетки немонохроматическим светом все главные максимумы, кроме нулевого порядка, раскладывается в спектр?

д) при каком условии интенсивность в главном максимуме равна нулю?

11. Какое количество главных дифракционных максимумов наблюдается при освещении плоской монохроматической волной амплитудой дифракционной решетки с синусоидальным распределением коэффициента пропускания?

12. Для наблюдения дифракционной картины Фраунгофера от щели шириной  используется зрительная труба с угловым увеличением в . При какой максимальной ширине щели наблюдатель отчетливо увидит дифракционную картину, если предельное разрешение глаза  при ?

13. На круглое отверстие в непрозрачном экране падает плоская монохроматическая волна. Как будет изменяться интенсивность света в осевой точке на некотором расстоянии от отверстия при изменении его диаметра?

14. Круглое отверстие в непрозрачном экране освещается плоской волной интенсивностью . Чему равна интенсивность света в центре дифракционной картины, если отверстие открывает одну зону Френеля?

15. Сколько зон Френеля умещается в отверстии непрозрачного экрана для случая, когда точка наблюдения находится в области дифракции Фраунгофера?

16. Чем гауссов пучок отличается от пучка света, получающегося при прохождении плоской волны сквозь круглое отверстие? Что понимается под шириной гауссова пуска? Какую форму имеют его границы?

17. Как зависит кривизна волновых поверхностей гауссова пуска от расстояния до его перетяжки? Где эта кривизна максимальна?

18. Почему критерий Релея, в соответствии с которым определяют разрешающую способность объектива, является субъективным?

19. Напишите формулу для предельного разрешения объективов телескопа и микроскопа при некогерентном освещении предмета.

20. С какой целью в микроскопах большого увеличения применяют иммерсионную жидкость?

21. Напишите формулу для амплитудного коэффициента пропускания тонкой линзы как фазового элемента и формулу, связывающую комплексную амплитуду в задней фокальной плоскости линзы с амплитудным коэффициентом пропускания транспаранта, расположенного перед линзой и нормалью освещаемого монохроматической волной света.

22. При каком расположении и освещении плоского транспаранта его амплитудный коэффициент пропускания связан преобразованием Фурье с распределением комплексной амплитуды в задней фокальной плоскости линзы, расположенной за транспарантом?

23. В опытах Аббе амплитудная дифракционная решетка освещается плоской монохроматической волной. Объектив строит изображение решетки, причем в задней фокальной плоскости наблюдается дифракционная картины Фраунгофера на решетке. Что произойдет с изображением решетки, если:

а) в задней фокальной плоскости установить диафрагму и пропустить через нее только один дифракционный максимум;

б) пропустить два соседних дифракционных максимума;

в) перекрыть все нечетные максимумы;

г) перекрыть все максимумы по одну сторону от максимума нулевого порядка?

24. Объясните появление спекл-структуры в изображении объектов, освещаемых лазерным излучением.

25. Поясните принцип работы киноформа на примере преобразования плоской монохроматической волны в сферическую волну.

26. Как влияет на работу киноформа изменение длины волны освещающего луча?

 

Кристаллооптика

 

 

Теоретический материал

Изотропные и анизотропные среды. Тензор диэлектрической проницаемости в анизотропной среда. Система диэлектрических осей. Главные значения диэлектрической проницаемости. Фазовая и лучевая скорости в кристалле. Главные значения скоростей и показателей преломления в кристалле. Формула Френеля. Эллипсо­ид волновых нормалей. Одноосные и двухосные, положительные и отрицательные кристаллы. Обыкновенный и необыкновенный лучи иих свойства. Построение Гюйгенса для направлений распростране­ния света в кристаллах. Устройства для получения поляризован­ных лучей. Поляризационные элементы. Фазовые пластинки, компен­сатор Бабине, призма Волластона. Вращение плоскости поляриза­ции, теория Френеля оптически активных сред. Матрицы Джонса по­ляризационных элементов. Матричные методы анализа и преобразо­вания поляризованного света.

Наведенная анизотропия. Эффект Фарадея. Электрооптические эффекты в кристалле и жидкости: Поккельса, Керра, Коттон-Му­тона

Кристаллическая среда в общем случае является оптически анизотропной средой. Это означает, что связь между составляющими вектора электрического смещения  и вектора напряженности электрического поля  имеет вид:

, где .

Совокупность величин  называется тензором диэлектрической проницаемости среды:

.

Из закона сохранения энергии имеем , , . В силу этих равенств существует такая система координат ,называемая системой главных диэлектрических осей, в которой тензор диэлектрических проницаемостей принимает диагональный вид:

.

В этой системе связь между составляющими векторов  и  имеет простой вид:

, где .

Если в кристаллической среде распространяется плоская гармоническая электромагнитная волна с круговой частотой , нормаль к волновому фронту которой характеризуется единичным вектором , то векторы поля могут быть записаны в виде:

, , , ,       (6.1)

где , ,  - амплитуды волн;  - пространственно-вре­менной параметр, характеризующий плоскую волну (фаза волны).

Подставив выражения (6.1) в уравнения Максвелла, получим:

                                                                              (6.2)

где  - показатель преломления.

Из уравнений (6.2) видно, что век­тор  и, следовательно, вектор  перпендикулярны векторам ,  и , которые поэтому должны быть компланарны. Кроме того, вектор  ортогонален . Следовательно, векторы  и  перпендикулярны к на­правлению распространения волны , а вектор  составляет с ним неко­торый угол, в общем случае отличный от прямого (рис. 6.1).

 

Рис. 6.1 Структура плоской волны в кристалле

 

Направление распространения электромагнитной энергии, как из­вестно, характеризуется вектором Пойнтинга: .

Введем единичный вектор , характеризующий это направле­ние, тогда получим, что векторы ,  и  с одной стороны, и ,  и  - с другой, образуют ортогональные тройки векторов с общим вектором , повернутые относительно друг друга на угол . Из первых двух уравнений Максвелла (2.8) для таких волн, исключая , получим

.                                                       (6.3)

Раскрыв двойное векторное произведение получим уравнение:

                                                                      (6.4)

или в проекциях на оси координат

                        , .        (6.5)

 

Основные типы задач

1. Выразить фазовую скорость плоской электромагнитной вол­ны через векторы  и   поля.

Решение:

Умножив выражение (6.4) скалярно на вектор , получим:

.

Отсюда, учитывая, что , находим:

                                                             (6.6)

2. Найти зависимость фазовой скорости распространения плоской электромагнитной волны от составляющих вектора  в системе координат, связанной с глав­ными диэлектрическими осями.

Решение. Исходным для решения этой задачи является выражение (6.5). Для исключения из него векторов  и  введем понятие о главных скоростях в кристалле. Пусть вектор  направлен по оси  системы координат, связанной с главными диэлектрическими осями, тогда   и . Подставляя эти соотношения в (6.6), получим:

                                                               (6.7)

где  – скорость света в вакууме.

Аналогично, если вектор  направлен вдоль осей или , получаем:

                                                               (6.8)

Скорости , ,  называются главными скоростями распространения. Следует иметь в виду, что они не являются проекциями какой-либо скорости, имеющей реальное физическое содержание.

Запишем теперь выражение (6.5) в проекциях на оси , , :

, где .

Откуда

, где .

Или с учетом (6.7) и (6.8)

, где .

 

Умножив обе части этого равенства на  и просуммировав по , получим:

.

Левая часть этого уравнения равна нулю, так как , то окончательно получим:

или более подробно:

                                          (6.9)

Формула (6.9) называется формулой Френеля для фазовой скорости распространения света в кристалле. Она и является решением нашей задачи.

3. Показать, что в каждом направлении  в кристалле могут распространяться две волны с различными фазовыми скоростями. Если эти скорости различны, то каждая из волн поляризована линейно, причем векторы  обеих волн взаимно перпендикулярны.

Решение:

Запишем формулу Френеля в следующем виде:

(6.10)

Обозначим левую часть уравнения через  и построим график этой функции. При этом для определенности положим .

Легко убедиться, что в этом случае

 ,  ,

и, следовательно, график функции  имеет вид, показанный на рис. 6.2. Точки пересечения графика этой функции с осью  являются корнями уравнения (6.10) –  и причем:

 и                                               (6.11)

Рис 6.2.

 

Таким образом, действительно, в произвольном направлении  распространяются две волны с разными фазовыми скоростями.

Рассмотрим теперь вопрос о поляризации этих волн. Для этого определим отношение составляющих вектора , соответствующего волне, распространяющейся со скоростью . Из (6.9) при  получим:

.

Из этого соотношения видно, что отношения составляющих вектора  вещественны, что означает отсутствие сдвига фаз между этими составляющими. Следовательно, вектор   колеблется в определенном направлении, а соответствующая волна является линейно поляризованной.