Взаимосвязь естественного и координатного способов

Скорость при естественном способе задания движения определяется уравнением:

u = ds,

dt

из которого, выразив дуговую координату s (при

ò ds = ò udt;

s = ò udt.

 

 

s 0 = 0), получим:

Так как скорость в координатном способе задания движения равна:

 

u =                .

 

Тогда дуговая координата определится выражением:

 

x     y     z

s = ò

u 2 + u 2 + u 2  dt.                              (1.12)

 

 

Пример. Точка движется в плоскости xy по закону:

x = 2 t 2;

y = 1,5 t 2.

Определить уравнение дуговой координаты

s = f (t).

 

x

u  = (2 t 2 )¢ = 4 t;

y

u  = (1,5 t 2 )¢ = 3 t.

 

s = ò

u 2 + u 2 dt;

x     y

s = ò

(4 t )2  + (3 t )2  dt ;

s = 5ò tdt.

После интегрирования получим уравнение дуговой координаты в функции времени:

s = 2,5 t 2 + C.

Вычисление at в заданный момент времени t

a                  (

);

Так как касательное ускорение есть производная от скорости по времени, то подставив выражение для определения скорости в координатном способе задания движения, получим:

=  du =   d

t     dt dt

a   =   1 d

(u 2 + u 2 + u 2);

t    2                dt

x     y     z

a   =  1   d   (u 2  + u 2  + u 2 );

t   2 u dt x     y    z

a = 1  æ 2 u

dux

 

+ 2 u

duy

 

+ 2 u

duz ö ;

 

t    2 u ç x  dt    y  dt    z dt   ÷

è                                      ø

a =  uxax + uyay + uz az

t                       u

 

.                            (1.13)

 

Вычисление an

в заданный момент времени t

Ускорение материальной точки a =

, откуда

an   =        .

 

С учетом того, что a =

 

и at

= uxax +  uyay +  uzaz, получим:

u

an   =                                                  .

 

Приведя к общему знаменателю подкоренное выражение, расписав

квадрат суммы (a + b + c)2  = a 2  + b 2  + c 2  + 2 ab + 2 ac + 2 bc

и заменив в

 

x     y     z

числителе u 2 на u 2 + u 2 + u 2, получим девять слагаемых, которые можно

 

представить в виде трех выражений вида

(a - b)2 :

a 2 - 2 ab + b 2

и заменить на

 

 

an   =                              u

.         (1.14)

Если материальная точка движется, к примеру, в плоскости xy, то нормальное ускорение будет равно:

 

an   =   u

.                                           (1.15)

 

 

ПРОСТЕЙШИЕ ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА

Различают пять видов движения твердого тела:

– поступательное;

– вращательное;

– плоскопараллельное (плоское);

– сферическое;

– общий случай движения твердого тела.

Из них простейшими являются поступательное и вращательное.