Векторный способ задания движения

Положение точки M в пространстве определяется радиус- вектором r, проведенным из некоторого неподвижного центра O в данную точку M (рисунок 1.1).

Для определения движения точки задается вектор-функция r аргумента t, которая должна быть

однозначной, непрерывной  и

Рисунок 1.1

дважды дифференцируемой:

r = f (t ).                                 (1.1)

 

Кривая AB – траектория точки.

Линия, образованная концами переменного вектора, начало которого находится в определенной точке пространства, называется годографом этого вектора.

Следовательно, траектория точки M является годографом ее радиус- вектора r.

Скорость – векторная величина, характеризующая изменение положения точки в единицу времени.

Пусть за промежуток времени D t

точка переместилась из положения

M в положение

M 1 (рисунок 1.1). Отношение вектора перемещения D r к

промежутку времени D t

представляет собой вектор средней скорости

uср

воображаемого движения точки по хорде

MM 1:

uср

= D r.

D t

Вектор средней скорости

uср

направлен так же, как вектор

D r. При

D t ® 0

его направление стремится к направлению касательной,

проведенной из точки M в сторону движения точки.

Для определения вектора скорости точки в момент времени t

переходим к пределу:

u = lim D r   = dr   = r ¢ .                                (1.2)

           

D t ®0  D t dt

Таки образом, вектор скорости u определяется как первая производная от радиус-вектора r по времени t.

Вектор скорости u направлен по касательной к траектории в сторону движения точки.

 

Годограф скорости. Ускорение

Годограф скорости – линия, которую описывают точки концов векторов скорости,

отложенных из одного центра O 1

(рисунок 1.2).

 

Рисунок 1.2

Уравнения годографа скорости показаны в пункте 1.2.

 

Ускорение – векторная величина, характеризующая изменение скорости по величине и направлению в единицу времени.

Пусть за промежуток времени D t

точка переместилась из положения   M в

положение

M 1 , и вектор скорости

 

Рисунок 1.3

изменился на величину (рисунок 1.3).

D u = u 1 - u

Разделив приращение вектора скорости D u

на промежуток времени

D t, получим вектор среднего ускорения точки за этот промежуток времени:

aср

=  D u.

D t

Вектор среднего ускорения будет сонаправлен с направлением

приращения вектора скорости

D u. Покажем это на годографе скорости.

Предел, к которому стремится вектор среднего ускорения

aср, когда

D t ® 0, является вектором ускорения точки в данный момент времени t:

a = lim D u

=  du;

D t ®0

D t dt

Учитывая, что скорость является вектор-функцией от времени

u = f (t) и что u = dr

dt

 

, получим:

a =  du =  d æ  dr ö =  d r = ¢¢

è ø

2

 

dt dt ç  dt ÷

dt 2

r.                           (1.3)

 

Вектор ускорения в данный момент равен первой производной от вектора скорости или второй производной от радиус-вектора по времени.

Вектор ускорения лежит в соприкасающейся плоскости и направлен по касательной к годографу скорости в сторону вогнутости траектории.