Координатный способ задания движения

Положение точки в пространстве определяется координатами x, y, z,

являющиеся функциями времени (рисунок 1.4):

ï

x =  f 1 (t) ü

y =  f 2 (t )ý .                                       (1.4)

ï

þ

z = f 3 (t)

Функции

f 1 (t),

f 2 (t) и

f 3 (t)

 

 

Рисунок 1.4

должны быть однозначными, непре- рывными и дважды дифференци- руемыми.

Уравнения (1.4) являются уравнениями движения точки, а так же уравнениями траектории точки в параметрической форме, так как зависят от параметра t. Чтобы получить уравнения траектории в координатной форме, необходимо

из уравнений (1.4) исключить параметр t:

 

t = f (x) Þ

y =   f 2 éë  f (x)ûùïü

ý

.

z =   f 3 éë  f (x)ùû ïþ

 

 

Пример. Определить уравнение траектории точки, если она движется

в плоскости xy по закону:

x = 4 t 2;

y = 10 t 2.

 

Тогда уравнение траектории определим разделив уравнения друг на друга:

y = 10 t 2

Þ y = 2,5 x,

x 4 t 2

или подстановкой, выраженного из уравнения

x = 4 t 2

значения

t 2, в

уравнение

y = 10 t 2:

 

 

x = 4 t 2

 

ç 4 ÷

y = 10æ  x ö

è ø

 

Þ t 2 = x;

4

 

Þ y = 2,5 x.

Координатный и векторный способы взаимосвязаны: r

= xi

+ yj + zk,

 

где i, j, k   – единичные векторы (орты), направленные вдоль

соответствующих осей x, y, z;

x, y, z – проекции радиус-вектора r на неподвижные координатные оси.

 

Скорость точки

Согласно теореме: проекция производной от вектора на ось, неподвижную в данной системе отсчета, равна производной от проекции дифференцируемого вектора на ту же ось, – запишем:

u  =  dr

=  dx i

+ dy

j + dz k

= u i + u

 

j + u k;

dt dt  dt  dt

x        y        z

u = dx = x;

u = dy = y;

u = dz = z.                (1.5)

x   dt

y   dt

z   dt

Проекции скорости точки на неподвижные декартовые оси координат равны первым производным от соответствующих координат точки по времени.

По модулю скорость будет равна:

 

u =                 =

.                      (1.6)

 

)

Направление вектора скорости определяется направляющими косинусами (рисунок 1.4):

cos(u, ux

cos(u, u

= cos a = ux ;

u

)= cos b = uy ;

y

cos(u, uz

)= cos g

u

= uz.

u

Уравнения годографа скорости (рисунок 1.2) в параметрической форме можно записать в виде:

ì xГ

ï

ï

í  yГ

=  ux  (t ) =  x (t );

= uy  (t) = y (t);

z

î  Г =  uz (t) =  z (t).

ï

Исключив параметр t, получим уравнения годографа скорости:

)ùû ýï

ux =

f 1 (t ) ü

 

u = f

é  f (u

)ùü

uy = f 2 (t)ý;

z     3   þ

u  =  f (t)ï

t  =   f (ux )

Þ   y

uz =

2 ë  x

f 3 éë  f (ux

ûï.

þ

 

 

Пример. Определить уравнение годографа скорости, если точка

движется в плоскости xy по закону:

x = 5 t 2 + 2 t;

y = 2 t 3 -1.

 

Определим проекции скорости на координатные оси:

(  )

u = dx   = 5 t 2 + 2 t ¢ = 10 t + 2;

x   dt

( )

u = dy   = 2 t 3 -1 ¢ = 6 t 2.

y   dt

Таким образом, получили уравнения годографа скорости в параметрической форме:

ìï ux   = 10 t + 2;

î

y

íï u

= 6 t 2.

 

Исключив параметр t, получим уравнение годографа скорости, т.е.

уравнение вида uy =

f  (ux ):

u - 2

 

æ  u - 2 ö2

t =   x       

Þ uy = 6ç    x   ÷ ;

10

u  = 3(ux

è 10 ø

- 2)2

.

y           50

Ускорение точки

Так как

a = du  , а u = u i + u j + u k, тогда

dt             x        y        z

a = dux i

+ duy

j + duz k.

dt    dt    dt

a =  dux x   dt

 

= x;

a =  duy  y dt

 

= y;

a =  duz z dt

 

= z.              (1.7)

Проекции ускорения точки на неподвижные декартовые оси координат равны вторым производным от соответствующих координат точки по времени.

По модулю ускорение будет равно:

 

a =                 =

. (1.8)

 

Направление вектора ускорения определяется направляющими косинусами (рисунок 1.5):

cos(a, ax

= cos a = ax;

)

a

cos(a, ay

= cos b = ay;

)

a

Рисунок 1.5

cos(a, az

)= cos g

= az.

a