Центр масс механической системы

36 37 38 39 40 41 42

Масса механической системы m равна сумме

масс mi

всех точек (тел) входящих в эту систему

(рисунок 5.2):

m = å mi .

Рисунок 5.2

Из статики известно (см. раздел I, тема 10, пункт 10.2):

Так как G = mg; Gi = mi g, то

= å riGi .

r = å rimi g =

C mg

= å ri mi . (5.2)

Центром масс механической системы называется геометрическая точка C, радиус-вектор которой определяется равенством (5.2).

В проекции на координатные оси получим:

x = å xi mi;

C m

y = å yi mi;

C m

z = å zi mi.

C m

Осевые моменты инерции твердого тела

Характер распределения массы тел относительно плоскости, оси или центра существенно влияет на движение этих тел (системы тел) и характеризуется соответствующим моментом инерции. Ограничимся рассмотрением моментов инерции относительно оси (рисунок 5.3).

Момент инерции тела относительно оси – это сумма произведений массы каждой точки тела на квадрат расстояния от оси до точки:

z i i

J = å m r 2 , [ J ]= éëкг × м2 ùû .

Рисунок 5.3

Для тонкостенного кольца (рисунок 5.4) рас-

стояние ri

есть величина постоянная равная R:

z i i i

J = å m r 2 = R 2 å m

= mR 2.

Рисунок 5.4

Момент инерции любого тела можно представить в виде:

J = mr 2,

где

r = iz

– радиус инерции – расстояние от оси вращения, на котором необходимо разместить массу тела, чтобы момент инерции размещенной массы равнялся моменту инерции тела

относительно этой оси, м.

Для сложных тел, для которых момент инерции математически выразить затруднительно, определяется и задается именно радиус инерции.

Момент инерции тела относительно оси проходящей через его центр масс (центральной оси) всегда наименьший.

Теорема Гюйгенса-Штейнера (рисунок 5.5)

Момент инерции тела относительно любой оси равен моменту инерции тела относительно параллельной оси, проходящей через центр его масс плюс произведение массы тела на квадрат