Определители и их свойства. Вычисления определителей

Волгодонский инженерно-технический институт - филиал НИЯУ МИФИ

 

 

 

Методические указания

по теме:

 

 

«Линейная, векторная алгебра и аналитическая геометрия»

Волгодонск

 

Определители матрицы. Системы линейных алгебраических уравнений.

Определители и их свойства. Вычисления определителей.

    Определителем n-го порядка называется число , записанное в виде квадратной таблицы

 вычисляется по правилу (1), которое будет дано ниже. Элементы определителя обозначают , где i-номер строки, j- номер столбца, на пересечении которых располагается .

    Любую строку или столбец определителя называют рядом.

    Главной диагональю определителя называется совокупность элементов , , … .

    Минором    элемента  называется определитель (n-1)-го порядка  полученный из определителя n-го порядка вычеркиванием i-й строки и j-го столбца.

    Алгебраическое дополнение   элемента  определяется равенством:

    Правила вычисления :

Для n=2

Для n=3 

Для произвольного n   (1)

Например:

Перечислим основные свойства определителей:

1. Сумма произведений элементов любого ряда определителя и их алгебраических дополнений не зависит от номера ряда и равна этому определителю.

Эти равенства (как и формулу (1)) можно считать правилом вычисления определителя. Первое из них называется разложением   по его элементам i-той строки, а второе- разложением   по элементам j-го столбца;

2. значение определителя не меняется после замены всех его строк соответствующими столбцами и наоборот;

3. если поменять местами два параллельных ряда определителя то он изменит знак на противоположный;

4. определитель с двумя одинаковыми параллельными рядами равен нулю;

5. если все элементы некоторого ряда определителя имеют общий множитель, то последний можно вынести за знак определителя;

6. если все элементы какого-либо ряда определителя равны нулю, то определитель так же равен нулю;

7. определитель, у которого элементы двух параллельных рядов соответственно пропорциональны, равен нулю;

8. определитель не измениться, если ко всем элементам какого-либо ряда прибавить соответствующие элементы другого параллельного ряда, умноженные на одно и то же произвольное число.