Векторная алгебра.
Сложение векторов. Умножение вектора на скаляр.
Вектором называется направленный отрезок , в котором точка А рассматривается как начало, а точка В - как конец вектора.
Модуль (длина) вектора обозначается
В параллелограмме, построенном на данных и , одна вектор – диагональ есть сумма векторов а другая вектор-диагональ есть разность векторов .
Произведением вектора на число (скаляр) m называется вектор, имеющий длину и направленный одинаково с (при m > 0) или противоположно
(при m<0).
Если известны координаты начала А и конца вектора В , то координаты вектора можно найти по правилу
,
координаты середины отрезка АВ:
Если векторы заданы в координатной форме , , - константа, то
1) - координаты суммы (разности) векторов;
2) - координаты произведения вектора на число;
3) - длина вектора .
Скалярное произведение двух векторов.
Определение: Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними.
|
|
Свойства скалярного произведения:
1. - переместительный закон.
2. – распределительный закон.
3. , поэтому
4. Если , то
5. Если векторы заданы координатами и , то
Угол между векторами:
Условие коллинеарности векторов и :
Условие ортогональности векторов и :
Векторное произведение двух векторов.
Определение: Векторным произведением вектора на вектор , называется вектор, обозначаемый и определяемы следующими тремя условиями:
1) ;
2) , , образуют правую тройку, т.е. из конца третьего вектора движение первого ко второму по кратчайшему пути наблюдается против часовой стрелки;
3) , где - угол между векторами и .
Свойства векторного произведения:
1.
2.
3. Если то
Векторные произведение векторов:
Если векторы заданы в координатной форме и , то
Площадь параллелограмма, построенного на векторах , численно равна модулю их численного произведения:
.
Площадь треугольника, построенного на векторах :
.