Смешанное произведение трёх векторов

Определение: Смешенным произведением векторов ,  и  называется выражение вида .

Если векторы ,  и  заданы своими координатами, то

.

Свойства смешенного произведения:

1. От перестановки двух соседних сомножителей смешенное произведение меняет знак:

.

2. Если два из трех данных векторов равны или коллинеарные, то их смешенное произведение равно нулю.

3. Имеет место тождество , поэтому смешенное произведение можно записать в виде , т.е. без знаков действий и без скобок.

Объем параллелепипеда, построенного на векторах ,  и :

.

Объем пирамиды, построенной на векторах ,  и :

.

Условия компланарности трёх векторов:

Если ,  и  компланарны, то  и наоборот.

Аналитическая геометрия.

Уравнения плоскости.

1.Уравнение плоскости, проходящей через точку  и перпендикулярной к вектору .

Пусть  произвольная точка плоскости,

 и по условию ортогональности векторов (см. 2.1.2.)

       (1)

2.Общее уравнение плоскости:

                                  (2)

Вектор  называется нормальным вектором к плоскости (1) и (2).

3.Уравнение плоскости в отрезках на осях:

                                               (3)

Пусть заданы две плоскости  Ax+By+Cz+D=0 и

1.Угол, образованный двумя плоскостями равен углу между их нормальными векторами:

2.Условие параллельности плоскостей

3.Условие перпендикулярности плоскостей:

Расстояние точки  от плоскости Ax+By+Cz+D=0:

 

Уравнения прямой в пространстве

1. Уравнения прямой,  проходящей через точку  и параллельной вектору .

Пусть  произвольная точка прямой, тогда ,

 и по условию коллинеарности векторов (см.2.1.2)

Уравнения (5) называются каноническими уравнениями прямой.

Вектор  называется направляющим вектором прямой.

2.      Параметрические уравнения прямой получим, приняв каждое из отношений (5) параметру t:

                                                                    (6)

3. Уравнения прямой, проходящей через две точки  и :

4.Общие уравнения прямой:

Угол между прямой  и плоскостью Ax+By+Cz+D=0

Уравнения прямой на плоскости.

Уравнения прямой с угловым коэффициентом.

Угловой коэффициент , где -  угол наклона прямой к оси ОХ.

Общее уравнение прямой