2020-05-12
176
Определение: Смешенным произведением векторов 
, 
и 
называется выражение вида 
.
Если векторы , и заданы своими координатами, то
.
Свойства смешенного произведения:
1. От перестановки двух соседних сомножителей смешенное произведение меняет знак:
.
2. Если два из трех данных векторов равны или коллинеарные, то их смешенное произведение равно нулю.
3. Имеет место тождество 
, поэтому смешенное произведение можно записать в виде , т.е. без знаков действий и без скобок.
Объем параллелепипеда, построенного на векторах , и :
.
Объем пирамиды, построенной на векторах , и :
.
Условия компланарности трёх векторов:
Если , и компланарны, то 
и наоборот.
Аналитическая геометрия.
Уравнения плоскости.
1.Уравнение плоскости, проходящей через точку 
и перпендикулярной к вектору 
.
Пусть 
произвольная точка плоскости,
и по условию ортогональности векторов (см. 2.1.2.)
(1)
2.Общее уравнение плоскости:
(2)
Вектор называется нормальным вектором к плоскости (1) и (2).
3.Уравнение плоскости в отрезках на осях:
(3)
Пусть заданы две плоскости Ax+By+Cz+D=0 и 
1.Угол, образованный двумя плоскостями равен углу между их нормальными векторами:
2.Условие параллельности плоскостей
3.Условие перпендикулярности плоскостей:
Расстояние точки 
от плоскости Ax+By+Cz+D=0:
Уравнения прямой в пространстве
1. Уравнения прямой, проходящей через точку и параллельной вектору 
.
Пусть произвольная точка прямой, тогда 
,
и по условию коллинеарности векторов (см.2.1.2)
Уравнения (5) называются каноническими уравнениями прямой.
Вектор 
называется направляющим вектором прямой.
2. Параметрические уравнения прямой получим, приняв каждое из отношений (5) параметру t:
(6)
3. Уравнения прямой, проходящей через две точки и 
:
4.Общие уравнения прямой:
Угол между прямой 
и плоскостью Ax+By+Cz+D=0
Уравнения прямой на плоскости.
Уравнения прямой с угловым коэффициентом.
Угловой коэффициент 
, где - 
угол наклона прямой к оси ОХ.
Общее уравнение прямой
