Непрерывность функции. Точки разрыва. Задание 11-20

 

Найти все точки разрыва функции y = f(x). Построить график функции.

Если  и при этом , то говорят, что  стремится к  справа и пишут . Если  и при этом , то говорят, что  стремится к  слева и пишут . Пределы функции  и , если они существуют, называются односторонними пределами или соответ­ственно правосторонним и левосторонним пределами.

Функция  называется непрерывной в точке , если

1) функция определена в некоторой окрестности точки ;

2) существуют конечные и равные между собой односторонние пределы фун­кции в точке , т.е.

;

3) предел функции равен значению функции в точке , т.е.

.

Функция, непрерывная в каждой точке интервала, называется непрерывной в этом интервале.

Точка , принадлежащая области определения функции или граничная для этой области, называется точкой разрыва, если в этой точке нарушаются условия непрерывности. Элементарные функции непрерывны в области своего определения.

Решение:

Функция  задана тремя аналитическими выражениями, каждое из них есть элементарная функция. Следовательно, если данная функция имеет точки разрыва, то это возможно в точках, в

которых она меняет аналитичес­кое выражение, т.е. в точках  и .

1. .

Найдем односторонние пределы функции в этой точке.

.

Односторонние пределы конечны, но не равны между собой. Следовательно, точка  точка разрыва функции.

2. .

 

Все условия непрерывности в точке  выполнены. Функция непрерывна в этой точке.

3. Построим график функции. При  имеем  - парабола, ветвь вверх, вершина в точке . При  имеем  - прямая, проходящая через точки  и .

При  имеем  - горизонтальная прямая.

Вопросы для самоконтроля.

1. Дайте определение односторонних пределов.

2. Дайте определение непрерывной функции в точке.

3. Какие точки называются точками разрыва?

4. Дайте классификацию точек разрыва.

 

Литература: [8] стр. 31-53, [6] стр. 127-149, [10] стр. 131-172.

Примеры: [1] стр. 142; [5] стр. 96-114.