2020-05-12
132
Пусть u и v – две дифференцируемые функции. Тогда имеет место формула 
– формула интегрирования по частям.
Этой формулой пользуются тогда, когда 
невозможно свести к табличному с помощью подстановки.
Приведем основные типы интегралов, когда применяется метод интегрирования по частям:
1) 
; 
– многочлен; в этом случае u = p (x), dv = exdx;
2) 
;
;
3) 
;
4) 
; соответственно за функцию u берем 
; 
и т.д.
Примеры:
.
.
Рассмотрим некоторые способы интегрирования наиболее часто встречающихся функций.
Интегрирование выражений, в знаменателе которых стоит квадратный трехчлен.
В квадратном трехчлене выделим полный квадрат и сделаем подстановку.
Примеры: Найти интегралы:
.
.
Интегрирование некоторых видов тригонометрических функций.
а) 
, где m, n – положительные четные числа, вычисляются с помощью формул понижения порядка
Пример.
б) 
, где m, n – целые числа, хотя бы одно из которых нечетное, вычисляются отделением от нечетной степени одного множителя в первой степени и соответствующей подстановкой.
Примеры:
.
Интегрирование простейших видов иррациональных функций.
В этих интегралах вводят новую переменную так, чтобы получить рациональную функцию.
Примеры:
Вопросы для самоконтроля.
1. Дайте определение первообразной.
2. Дайте определение неопределенного интеграла.
3. Как обозначается неопределенный интеграл?
4. Перечислите свойства неопределенного интеграла.
5. В чем заключается суть метода подстановки?
6. Расскажите о методе интегрирования по частям.
7. Расскажите об интегрировании тригонометрических функций.
Литература: [7] стр. 226-256, [10] стр. 335-370, [12] стр. 257-294.
Примеры: [3] стр. 208-242, [6] стр.149-164.
ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЭКЗАМЕНУ
1. Функция и способы ее задания. Область определения функции. Основные элементарные функции и их графики. Элементарные функции.
2. Понятие предела функции. Свойства конечных пределов.
3. Бесконечно малые и бесконечно большие функции, их свойства.
4. Понятие о неопределенных выражениях. Методы раскрытия неопределенностей. Первый и второй замечательные пределы.
5. Непрерывность функции в точке. Понятие о точках разрыва. Классификация точек разрыва.
6. Определение производной функции y = f(x), ее механический и геометрический смысл. Уравнения касательной и нормальной прямой к графику функции.
7. Свойства производной. Основные правила нахождения производных.
8. Таблица производных основных элементарных функций.
9. Производные высших порядков.
10. Дифференциал функции. Геометрический смысл.
11. Правило Лопиталя раскрытия неопределенностей.
12. Признаки возрастания и убывания функций в интервале.
13. Экстремум функции. Необходимые и достаточные условия экстремума функции y = f(x).
14. Направление выпуклости и точки перегиба графика функции.
15. Понятие асимптоты функции. Асимптоты вертикальные, горизонтальные и наклонные.
16. Общая схема исследования функции и построения ее графика.
17. Наибольшее и наименьшее значения непрерывной функции y = f(x) на отрезке [ a, b ].
18. Определение первообразной функции, её свойства. Теорема существования первообразной.
19. Определение неопределенного интеграла, его геометрическая интерпретация. Теорема существования неопределенного интеграла, основные свойства неопределенного интеграла.
20. Методы интегрирования неопределенного интеграла: непосредственное интегрирование, интегрирование подстановкой, метод интегрирования по частям.
21. Интегрирование тригонометрических функций.
22. Интегрирование простейших иррациональных функций.
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ И РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
Основная литература:
1. Данко, П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2 –х ч. Ч. I: Учеб. пособие для втузов./П.Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевникова – Москва: ОНИКС: Мир и Образование, 2009 – 368с.
2. Данко, П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2 –х ч. Ч. II: Учеб. пособие для втузов./ П.Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевникова – Москва: ОНИКС: Мир и Образование, 2009 – 448с.
3. Клетеник Д.В. Сборник задач по аналитической геометрии: Уч. пособие для втузов./ Д.В.Клетеник – СПб., Изд-во «Профессия», 2007. – 199 стр., ил.
4. Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике: полный курс.–4-е изд./ Д.Т. Письменный –М.: Айрис-пресс, 2011.–608 с. – (Высшее образование).
Дополнительная литература:
5. Кремер Н.Ш. Практикум по высшей математике для экономистов. Учебник./ Н.Ш.Кремер – М.: Юнити, 2004.
6. Кремер Н.Ш. Высшая математика для экономистов. Учебник. / Н.Ш.Кремер, Б.А. Путко, И.М.Тришин, М.Н.Фридман – М.: Юнити, 2004.
7. Минорский В.П. Сборник задач по высшей математике. Учеб. пособие для вузов. / В.П.Минорский – М.: Наука, 1997. – 285 с.
8. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов. В 2-х томах, том 1, изд. «Наука», М.,1985 г., 456 стр. с илл.
9. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов. В 2-х томах, том 2, изд. «Наука», М.,1985 г., 456 стр. с илл.
Тамара Григорьевна Ершова, Ирина Александровна Драчева
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
1 часть
Практикум
по самостоятельной работе и выполнению контрольных работ
для студентов направления подготовки 38.03.01 «Экономика»
заочной формы обучения
Тираж ___экз. Подписано к печати __________ Заказ № ____ Объем 0,8 п.л.
Изд-во «Керченский государственный морской технологический университет»
298309, Керчь, ул. Орджоникидзе, 82
