Криволинейное движение точки. Скорость, ускорение

Пусть движение задано в векторной форме . Точка М движется по некоторой криволинейной траектории и ее положение определяется вектором . Пусть в момент времени положение точки определяется вектором . В момент времени , отличающийся от первоначального на бесконечно малый промежуток времени , точка занимает положение . Таким образом, в каждый момент времени конец вектора будет находиться точки . Геометрическое место концов этих векторов, или, линия, описываемая в пространстве концом вектора, начало которого находится в данной неподвижной точке называется годографом этого вектора. Очевидно, что годографом радиуса – вектора движущейся точки является траектория этой точки.

Соединим точки и прямой (рис. 48), тогда, очевидно, можно записать векторное равенство или , где - есть изменение (приращение) данного вектора за время . Разделив это приращение на промежуток времени , получим новый вектор, имеющий тоже направление, но другую величину. Этот вектор называется средней скоростью точки за время .

(23)

Средняя скорость криволинейного движения - это скорость такого равномерного движения, при которой точка, двигаясь по хорде равномерно попадает на траекторию в тоже положение, которое она занимает через данный промежуток времени, двигаясь по траектории неравномерно.

Будем теперь приближать к нулю. При этом точка будет при этом приближаться к точке . В пределе направление вектора (также как и ) совпадает с направлением касательной к траектории в точке , а модуль его равен . Предел средней скорости при называется скоростью движущейся точки в момент времени или истинной скоростью точки.

(24)

Вектор истинной скорости равен векторной производной от радиуса вектора, определяющего положение точки, по времени. Вектор истинной скорости имеет направление касательной к траектории в данном положении точки.

Определим модуль вектора истинной скорости. Введем обозначение - дуга траектории, тогда . Учитывая, что предел производной равен произведению пределов . Мы определяем модуль, т.е. переходим от векторных величин к скалярным . Учитывая, что , получаем , где .

Таким образом, модуль вектора скорости равен производной от дуговой координаты движущейся точки по времени.

Если производная положительна, то с ростом времени возрастает и , т.е. точка движется по траектории в положительном направлении и наоборот. Если модуль , то получаем случай равномерного криволинейного движения. В этом случае величина является линейной функцией времени, т.е. , где - начальное значение дуговой координаты при .

Для случая прямолинейного движения было получено, что ускорение точки выражается производной от скорости по времени (21). В случае криволинейного движения эта производная, очевидно, не может полностью характеризовать изменение скорости по времени, так как здесь скорость меняется не только по модулю, но и по направлению рис. 49. Для случая криволинейного движения, вектор ускорения строят следующим образом. Пусть в момент времени , движущаяся точка занимает на траектории положение и имеет скорость .

Через малый промежуток времени , т.е. в момент , эта точка занимает положение и имеет скорость . Перенесем начало вектора в точку , соединим конец вектора и , а затем достроим полученный треугольник до параллелограмма. Тогда вектор представляет собой изменение скорости за время : . Построим теперь новый вектор , равный отношению изменения скорости к соответствующему промежутку времени . . Этот вектор называется средним ускорением точки за время :