2020-05-12
1352
При определении ускорений точек плоской фигуры, прослеживается аналогия с методами определения скоростей.
1. Метод полюса. Также как и при определении скоростей, принимаем за полюс произвольную точку тела, ускорение которой нам известно, или мы можем его определить. Тогда, ускорение любой точки плоской фигуры равно сумме ускорений полюса и ускорения во вращательном движении вокруг этого полюса.
(58)
При этом составляющая 
определяет ускорение точки 
при ее вращении вокруг полюса 
. При вращении траектория движения точки будет криволинейной, а значит 
(рис. 66).
Тогда зависимость (58) принимает вид: 
(59)
Учитывая зависимости (51) и (52), получаем 
, 
.
2. Мгновенный центр ускорений.
Мгновенным центром ускорений (МЦУ) называется точка твердого тела, ускорение которой в данный момент времени равно нулю.
59
Покажем, что в каждый данный момент времени такая точка существует. Принимаем за полюс точку , ускорение которой 
нам известно. Находим угол 
, лежащий в пределах 
, и удовлетворяющий условию 
. Если 
, то 
и наоборот, т.е. угол откладывается по направлению вращения 
. Отложим от точки под углом к вектору отрезок 
(рис. 67). Полученная такими построениями точка 
будет МЦУ.
Действительно, ускорение точки равно сумме ускорений 
полюса и ускорения 
во вращательном движении вокруг полюса : 
.
, 
. Тогда 
. С другой стороны, ускорение образует с направлением отрезка 
угол 
, который удовлетворяет условию: 
. Знак минус, т.к. вращение 
относительно полюса против хода часовой стрелки, а угол откладывается по часовой стрелки. Тогда 
.
Следовательно, 
и тогда 
.
Частные случаи определения МЦУ.
1. 
. Тогда 
, и, следовательно, МЦУ не существует. В этом случае тело движется поступательно, т.е. скорости и ускорения всех точек тела равны.
2. 
. Тогда 
, 
. Значит, МЦУ лежит на пересечении линий действия ускорений точек тела (рис.68а).
3. 
. Тогда 
, 
. Значит, МЦУ лежит на пересечении перпендикуляров к ускорениям точек тела (рис.68б).
4. 
. Тогда , 
. Значит, МЦУ лежит на пересечении лучей, проведенных к ускорениям точек тела под углом (рис.68в).
Из рассмотренных частных случаев можно сделать вывод: если принять точку за полюс, то ускорение любой точки плоской фигуры определится ускорением во вращательном движении вокруг МЦУ.
(60)
60
| Тема 13. Сложное движение точки. Основные понятия. |
Сложным движением материальной точки называется такое движение, при котором точка одновременно участвует в двух или боле движениях. При таком движении положение точки определяют относительно подвижной и относительно неподвижной систем отсчета.
Движение точки относительно подвижной системы отсчета называется относительным движением точки. Параметры относительного движения условимся обозначать 
.
Движение той точки подвижной системы отсчета, с которой в данный момент совпадает движущаяся точка, относительно неподвижной системы отсчета называется переносным движением точки. Параметры переносного движения условимся обозначать 
.
Движение точки относительно неподвижной системы отсчета называется абсолютным (сложным)движением точки. Параметры абсолютного движения условимся обозначать 
.
В качестве примера сложного движения, можно рассмотреть движение человека в движущемся транспорте (трамвай). В этом случае движение человека отнесено к подвижной системе координат – трамваю, и к неподвижной системе координат – земля (дорога). Тогда исходя из данных выше определений, движение человека относительно трамвая – относительно, движение вместе с трамваем относительно земли – переносное, а движение человека относительно земли – абсолютное.
| Теорема о сложении скоростей точек в сложном движении. |
Будем определять положение точки 
радиусами – векторами относительно подвижной 
и неподвижной 
систем координат (рис. 69). Введем обозначения:
- радиус-вектор, определяющий положение точки относительно подвижной системы координат , 
;
61
- радиус-вектор, определяющий положение начала подвижной системы координат (точки 
), относительно неподвижной системы координат (точки 
);
- радиус – вектор, определяющий положение точки относительно неподвижной системы координат ; 
, 
;
Получим условия (ограничения), соответствующие относительному, переносному и абсолютному движениям.
1. При рассмотрении относительного движения, будем считать, что точка 
перемещается относительно подвижной системы координат , а сама подвижная система координат 
относительно неподвижной системы координат не перемещается. Тогда координаты точки будут меняться в относительном движении, а орт вектора подвижной системы координат изменяться по направлению не будут.
.
2. При рассмотрении переносного движения, будем считать, что координаты точки по отношению к подвижной системе координат зафиксированы, и точка перемещается вместе с подвижной системой координат относительно неподвижной .
.
3. При абсолютном движении точка движется и относительно 
, и вместе с системой координат относительно неподвижной .
.
Тогда выражения для скоростей, с учетом (27), имеют вид:
, 
,
.
62
Сравнивая эти зависимости, получаем выражение для абсолютной скорости: 
(61)
Получили теорему о сложении скоростей точки в сложном движении: абсолютная скорость точки равна геометрической сумме относительной и переносной составляющих скорости.
| Теорема о сложении ускорений точек в сложном движении. |
Используя зависимость (31), получаем выражения для ускорений:
Сравнивая эти зависимости, получаем выражение для абсолютного ускорения:
.
Получили, что абсолютное ускорение точки не равно геометрической сумме относительной и переносной составляющих скоростей. Определим составляющую абсолютного ускорения, стоящую в скобках, для частных случаев.
1. Переносное движение точки поступательное 
. В этом случае оси подвижной системы координат перемещаются все время параллельно самим себе, тогда 
. 
, 
, 
, тогда 
. Окончательно получаем:
(62)
Если переносное движение точки поступательное, то абсолютное ускорение точки равно геометрической сумме относительной и переносной составляющей ускорения.
2. Переносное движение точки непоступательное. Значит, в этом случае подвижная система координат вращается вокруг мгновенной оси вращения с угловой скоростью 
(рис. 70). Обозначим точку на конце вектора 
через . Тогда используя векторный способ задания (15), получаем вектор скорости этой точки 
.
63
С другой стороны, 
. Приравнивая правые части этих векторных равенств, получаем: 
. Поступая аналогично, для остальных орт векторов, получаем: 
, 
.
(63)
В общем случае абсолютное ускорение точки равно геометрической сумме относительной и переносной составляющей ускорения плюс удвоенное векторное произведение вектора угловой скорости переносного движения на вектор линейной скорости относительного движения.
| 20. Ускорение Кориолиса. |
Удвоенное векторное произведение вектора угловой скорости переносного движения на вектор линейной скорости относительного движения называется ускорением Кориолиса и обозначается:
(64)
Ускорение Кориолиса характеризует изменение относительной скорости в переносном движении и изменение переносной скорости в относительном движении.
Направляется 
по правилу векторного произведения. Вектор ускорения Кориолиса всегда направлен перпендикулярно плоскости, которую образуют вектора 
и 
, таким образом, чтобы, смотря с конца вектора видеть поворот к 
, через наименьший угол, против хода часовой стрелки.
Модуль ускорения Кориолиса равен:
(65)
64
